Дано:
1. 6 школьников.
2. Позиции:
а) за круглым столом;
б) на скамейке.
Найти:
Вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом.
Решение:
а) За круглым столом.
1. При размещении n объектов за круглым столом количество различных способов размещения равно (n-1)!. В нашем случае n = 6, тогда:
Количество способов размещения 6 школьников = (6-1)! = 5! = 120.
2. Теперь рассмотрим случаи, когда Женя и Таня сидят рядом. Мы можем рассмотреть их как один объект (пару). Таким образом, у нас будет 5 объектов: пара (Женя и Таня) + 4 остальных школьника.
3. Количество способов размещения этих 5 объектов за круглым столом равно (5-1)! = 4! = 24.
4. Внутри пары (Женя и Таня) они могут сидеть в двух разных порядках (Женя-Таня или Таня-Женя).
5. Значит, общее количество благоприятных случаев, когда Женя и Таня сидят рядом:
24 * 2 = 48.
6. Вероятность того, что Женя и Таня сидят рядом:
P(рядом) = общее количество благоприятных случаев / общее количество способов размещения = 48 / 120 = 2 / 5.
б) На скамейке.
1. При размещении n объектов в ряд количество различных способов размещения равно n!. В нашем случае n = 6, тогда:
Количество способов размещения 6 школьников = 6! = 720.
2. Теперь рассмотрим случаи, когда Женя и Таня сидят рядом. Снова рассматриваем их как один объект (пару). У нас будет 5 объектов: пара (Женя и Таня) + 4 остальных школьника.
3. Количество способов размещения этих 5 объектов на скамейке равно 5! = 120.
4. Внутри пары (Женя и Таня) они также могут сидеть в двух разных порядках.
5. Значит, общее количество благоприятных случаев, когда Женя и Таня сидят рядом:
120 * 2 = 240.
6. Вероятность того, что Женя и Таня сидят рядом:
P(рядом) = общее количество благоприятных случаев / общее количество способов размещения = 240 / 720 = 1 / 3.
Ответ:
а) Вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом за круглым столом = 2/5.
б) Вероятность того, что Женя и Таня будут сидеть рядом на скамейке = 1/3.