Дано:
Олег бросает кубик до тех пор, пока не наберёт в сумме больше 4 очков.
Найти:
Ожидаемое количество бросков, которое он сделает.
Решение:
Для того чтобы определить ожидаемое количество бросков, сначала найдем вероятность получения разных сумм при каждом броске.
1. На первом броске Олег может получить от 1 до 6 очков. Если он получает:
- 1 (остается 3),
- 2 (остается 2),
- 3 (остается 1),
- 4 (остается 0 и завершает игру),
- 5 (игра завершается, так как больше 4),
- 6 (игра завершается, так как больше 4).
Таким образом, чтобы продолжить игру, сумма после первого броска должна быть меньше или равна 3.
Суммы очков, которые позволят продолжить игру: 1, 2, 3.
Теперь рассчитаем вероятности этих событий:
- Вероятность набрать 1: 1/6
- Вероятность набрать 2: 1/6
- Вероятность набрать 3: 1/6
- Вероятность завершить игру на первом броске (набрав 4, 5 или 6): 3/6 = 1/2
Если Олег продолжает играть, то мы можем использовать метод математического ожидания для определения количества бросков.
Обозначим E как ожидаемое количество бросков. Тогда у нас есть 2 случая:
1. На первом броске он завершает игру (вероятность 1/2).
2. Он продолжает игру (вероятность 1/2), и тогда ему необходимо сделать дополнительные броски, что равно E + 1 (один текущий бросок плюс ожидаемое количество бросков).
Таким образом, можно записать уравнение:
E = (1/2) * 1 + (1/2) * (E + 1)
Упрощаем уравнение:
E = 1/2 + (1/2) * E + 1/2
E - (1/2) * E = 1
(1/2) * E = 1
E = 2
Ответ:
Олег, скорее всего, сделает 2 броска.