Дано:
- Номера паспортов в России состоят из 6 цифр.
- Цифры могут быть от 0 до 9 (всего 10 возможных цифр).
Найти:
а) Сколько номеров паспортов содержат хотя бы две одинаковые цифры?
б) Сколько номеров паспортов содержат, по крайней мере, два нуля?
в) Сколько номеров паспортов являются палиндромами?
Решение:
а) Сначала найдем общее количество возможных номеров паспортов, а затем вычтем количество номеров без одинаковых цифр.
1. Общее количество номеров паспортов:
Каждый номер состоит из 6 цифр, каждая из которых может принимать 10 значений (от 0 до 9). Следовательно, общее количество возможных паспортов:
10^6 = 1,000,000.
2. Количество номеров без одинаковых цифр:
Для первых 6 цифр выбираем цифры без повторений:
- Первая цифра: 10 вариантов (0-9).
- Вторая цифра: 9 вариантов (остальные 9 цифр).
- Третья цифра: 8 вариантов.
- Четвертая цифра: 7 вариантов.
- Пятая цифра: 6 вариантов.
- Шестая цифра: 5 вариантов.
Количество номеров без одинаковых цифр:
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 30,240.
3. Теперь находим количество номеров, содержащих хотя бы две одинаковые цифры:
Количество номеров с одинаковыми цифрами = Общее количество - Количество без одинаковых цифр
= 1,000,000 - 30,240 = 969,760.
б) Найдем количество номеров паспортов, содержащих, по крайней мере, два нуля.
1. Количество номеров без нуля:
Для первых 6 цифр, если 0 не используется, мы имеем 9 возможных цифр (1-9).
Количество таких номеров:
9^6 = 531,441.
2. Теперь найдем количество номеров, содержащих хотя бы два нуля:
Количество номеров с хотя бы двумя нулями = Общее количество - Количество без нуля
= 1,000,000 - 531,441 = 468,559.
в) Найдем количество палиндромов.
1. Палиндром имеет вид ABCDEF, где A = F, B = E, C = D. Таким образом, номер паспорта будет иметь вид ABCBA.
- Первая цифра (A) может быть любой из 10 цифр (0-9).
- Вторая цифра (B) также может быть любой из 10 цифр.
- Третья цифра (C) может быть любой из 10 цифр.
Количество палиндромов:
10 × 10 × 10 = 1,000.
Ответ:
а) 969,760 паспортов содержат хотя бы две одинаковые цифры.
б) 468,559 паспортов содержат, по крайней мере, два нуля.
в) 1,000 паспортов являются палиндромами.