Номера паспортов в России состоят из 6 цифр. Сколько из них:
 а) содержат хотя бы две одинаковые цифры;
 б) содержат, по крайней мере, два нуля;
 в) являются палиндромами?
от

1 Ответ

Дано:
- Номера паспортов в России состоят из 6 цифр.
- Цифры могут быть от 0 до 9 (всего 10 возможных цифр).

Найти:
а) Сколько номеров паспортов содержат хотя бы две одинаковые цифры?
б) Сколько номеров паспортов содержат, по крайней мере, два нуля?
в) Сколько номеров паспортов являются палиндромами?

Решение:

а) Сначала найдем общее количество возможных номеров паспортов, а затем вычтем количество номеров без одинаковых цифр.

1. Общее количество номеров паспортов:
   Каждый номер состоит из 6 цифр, каждая из которых может принимать 10 значений (от 0 до 9). Следовательно, общее количество возможных паспортов:

   10^6 = 1,000,000.

2. Количество номеров без одинаковых цифр:
   Для первых 6 цифр выбираем цифры без повторений:
   - Первая цифра: 10 вариантов (0-9).
   - Вторая цифра: 9 вариантов (остальные 9 цифр).
   - Третья цифра: 8 вариантов.
   - Четвертая цифра: 7 вариантов.
   - Пятая цифра: 6 вариантов.
   - Шестая цифра: 5 вариантов.

   Количество номеров без одинаковых цифр:

   10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 30,240.

3. Теперь находим количество номеров, содержащих хотя бы две одинаковые цифры:

   Количество номеров с одинаковыми цифрами = Общее количество - Количество без одинаковых цифр

   = 1,000,000 - 30,240 = 969,760.

б) Найдем количество номеров паспортов, содержащих, по крайней мере, два нуля.

1. Количество номеров без нуля:
   Для первых 6 цифр, если 0 не используется, мы имеем 9 возможных цифр (1-9).

   Количество таких номеров:

   9^6 = 531,441.

2. Теперь найдем количество номеров, содержащих хотя бы два нуля:

   Количество номеров с хотя бы двумя нулями = Общее количество - Количество без нуля

   = 1,000,000 - 531,441 = 468,559.

в) Найдем количество палиндромов.

1. Палиндром имеет вид ABCDEF, где A = F, B = E, C = D. Таким образом, номер паспорта будет иметь вид ABCBA.

   - Первая цифра (A) может быть любой из 10 цифр (0-9).
   - Вторая цифра (B) также может быть любой из 10 цифр.
   - Третья цифра (C) может быть любой из 10 цифр.

   Количество палиндромов:

   10 × 10 × 10 = 1,000.

Ответ:
а) 969,760 паспортов содержат хотя бы две одинаковые цифры.
б) 468,559 паспортов содержат, по крайней мере, два нуля.
в) 1,000 паспортов являются палиндромами.
от