Дано:
- Общее количество деталей: n = 10
- Вероятность того, что деталь бракованная: p_broken = 0.05
- Вероятность того, что деталь не бракованная: p_good = 1 - p_broken = 0.95
Найти:
а) Вероятность того, что не будет бракованных деталей.
б) Вероятность того, что будет 2 бракованных детали.
в) Вероятность того, что будет не больше 2 бракованных деталей.
Решение:
Для решения задачи будем использовать закон распределения Бернулли (биномиальное распределение). Формула для расчета вероятности имеет вид:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k)
где C(n, k) - биномиальный коэффициент, который рассчитывается как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
1. Для а) Вероятность того, что не будет бракованных деталей (k = 0):
C(10, 0) = 10! / (0! * (10 - 0)!) = 1
P(X = 0) = C(10, 0) * (0.05)^0 * (0.95)^10 = 1 * 1 * (0.95)^10 ≈ 0.5987
2. Для б) Вероятность того, что будет 2 бракованных детали (k = 2):
C(10, 2) = 10! / (2! * (10 - 2)!) = 45
P(X = 2) = C(10, 2) * (0.05)^2 * (0.95)^8 = 45 * (0.0025) * (0.6634) ≈ 0.1496
3. Для в) Вероятность того, что будет не больше 2 бракованных деталей (k = 0, 1, 2):
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
Сначала найдем P(X = 1):
C(10, 1) = 10! / (1! * (10 - 1)!) = 10
P(X = 1) = C(10, 1) * (0.05)^1 * (0.95)^9 = 10 * (0.05) * (0.4305) ≈ 0.2153
Теперь сложим все вероятности:
P(X <= 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)
≈ 0.5987 + 0.2153 + 0.1496 ≈ 0.9636
Ответ:
а) Вероятность того, что не будет бракованных деталей, примерно равна 0.5987.
б) Вероятность того, что будет 2 бракованных детали, примерно равна 0.1496.
в) Вероятность того, что будет не больше 2 бракованных деталей, примерно равна 0.9636.