Дано:
- Общее количество бросков: n = 5
- События: сумма 7, сумма 12, сумма 6
Найти:
а) Вероятность того, что сумма 7 выпадет по крайней мере дважды.
б) Вероятность того, что сумма 12 выпадет по крайней мере дважды.
в) Вероятность того, что сумма 6 выпадет 3 раза.
Решение:
1. Для а) Сначала найдем вероятность того, что сумма 7 появится в одном броске кубиков.
Возможные комбинации для получения суммы 7:
(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)
Всего 6 комбинаций. Общее количество возможных исходов при броске двух кубиков равно 6 * 6 = 36.
Таким образом, вероятность P(сумма 7) равна:
P(сумма 7) = 6 / 36 = 1 / 6
Теперь будем использовать биномиальное распределение для нахождения вероятности, что сумма 7 выпадет не менее 2 раз.
Сначала найдем вероятность, что сумма 7 выпадет 0 или 1 раз и вычтем эту сумму из 1:
P(X >= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
Для P(X = 0):
P(X = 0) = C(5, 0) * (1/6)^0 * (5/6)^5
= 1 * 1 * (5/6)^5
Теперь вычислим (5/6)^5:
(5/6)^5 ≈ 0.401877572
P(X = 0) ≈ 0.401877572
Для P(X = 1):
P(X = 1) = C(5, 1) * (1/6)^1 * (5/6)^4
= 5 * (1/6) * (5/6)^4
= 5 * (1/6) * 0.259374246
Теперь умножим:
P(X = 1) ≈ 5 * 0.043956043 = 0.219780213
Теперь подставим значения в формулу:
P(X >= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
≈ 1 - (0.401877572 + 0.219780213)
≈ 1 - 0.621657785
≈ 0.378342215
Ответ:
а) Вероятность того, что сумма 7 выпадет по крайней мере дважды, равна 0.378342215.
2. Для б) Теперь найдем вероятность того, что сумма 12 выпадет хотя бы дважды.
Сумма 12 может быть получена только одной комбинацией:
(6, 6)
Вероятность P(сумма 12):
P(сумма 12) = 1 / 36
Подобно предыдущему примеру, находим вероятность, что сумма 12 выпадет 0 или 1 раз:
P(X >= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
Для P(X = 0):
P(X = 0) = C(5, 0) * (1/36)^0 * (35/36)^5
= 1 * 1 * (35/36)^5
Теперь вычислим (35/36)^5:
(35/36)^5 ≈ 0.868056
P(X = 0) ≈ 0.868056
Для P(X = 1):
P(X = 1) = C(5, 1) * (1/36) * (35/36)^4
= 5 * (1/36) * (35/36)^4
= 5 * (1/36) * 0.866394
Теперь умножим:
P(X = 1) ≈ 5 * 0.02403667 = 0.12018335
Теперь подставим значения в формулу:
P(X >= 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1))
≈ 1 - (0.868056 + 0.12018335)
≈ 1 - 0.98823935
≈ 0.01176065
Ответ:
б) Вероятность того, что сумма 12 выпадет по крайней мере дважды, равна 0.01176065.