дано:
- вероятность выпадения орла в одном броске = 0,5
- вероятность появления решки в одном броске = 1 - 0,5 = 0,5
найти:
количество бросков монеты n, при котором вероятность появления хотя бы одного орла превышает 0,9, 0,99 и 0,999.
решение:
Вероятность того, что в n бросках не будет ни одного орла (все решки) можно выразить как:
P(0 орлов) = (0,5)^n.
Вероятность того, что хотя бы один орел появится, равна:
P(хотя бы один орел) = 1 - P(0 орлов) = 1 - (0,5)^n.
Для нахождения необходимого количества бросков n будем решать неравенства:
1. Для P(хотя бы один орел) > 0,9:
1 - (0,5)^n > 0,9
(0,5)^n < 0,1.
Теперь найдем минимальное значение n:
log(0,5^n) < log(0,1)
n * log(0,5) < log(0,1)
n > log(0,1) / log(0,5).
Вычисляем:
log(0,1) = -1 (по основанию 10)
log(0,5) ≈ -0,301.
Таким образом:
n > -1 / -0,301 ≈ 3,32.
Следовательно, n = 4 (так как количество бросков должно быть целым).
2. Для P(хотя бы один орел) > 0,99:
1 - (0,5)^n > 0,99
(0,5)^n < 0,01.
Находим минимальное n:
log(0,5^n) < log(0,01)
n * log(0,5) < log(0,01)
n > log(0,01) / log(0,5).
Вычисляем:
log(0,01) = -2
log(0,5) ≈ -0,301.
Таким образом:
n > -2 / -0,301 ≈ 6,64.
Следовательно, n = 7.
3. Для P(хотя бы один орел) > 0,999:
1 - (0,5)^n > 0,999
(0,5)^n < 0,001.
Находим минимальное n:
log(0,5^n) < log(0,001)
n * log(0,5) < log(0,001)
n > log(0,001) / log(0,5).
Вычисляем:
log(0,001) = -3
log(0,5) ≈ -0,301.
Таким образом:
n > -3 / -0,301 ≈ 9,97.
Следовательно, n = 10.
ответ:
для вероятности появления хотя бы одного орла больше 0,9 нужно 4 броска; для вероятности больше 0,99 нужно 7 бросков; для вероятности больше 0,999 нужно 10 бросков.