дано:
- количество граней кубика = 6
- вероятность того, что два числа одинаковые = P(2 одинаковых чисел)
найти:
количество бросков n, чтобы вероятность получения хотя бы двух одинаковых чисел была больше 0,5.
решение:
Для решения задачи используем принцип комплементарности. Сначала найдем вероятность того, что в n бросках не будет двух одинаковых чисел, и затем вычтем эту вероятность из 1.
Вероятность того, что все n бросков будут разными (т.е. не будет ни одной пары одинаковых чисел):
P(все разные) = (6/6) * (5/6) * (4/6) * ... * (6-n+1)/6
Это можно записать как:
P(все разные) = 6! / ((6 - n)! * 6^n)
где 6! — факториал числа 6, а (6 - n)! — факториал от (6 - n).
Теперь найдём вероятность того, что есть хотя бы две одинаковые:
P(по крайней мере 2 одинаковых) = 1 - P(все разные)
Таким образом, наше уравнение принимает вид:
1 - (6! / ((6 - n)! * 6^n)) > 0,5
Упрощаем:
6! / ((6 - n)! * 6^n) < 0,5
Теперь вычислим при каком значении n данное неравенство выполняется.
1. Для n = 1:
P(все разные) = 1, следовательно, P(по крайней мере 2 одинаковых) = 0.
2. Для n = 2:
P(все разные) = 6/6 * 5/6 = 5/6 ≈ 0,833, следовательно, P(по крайней мере 2 одинаковых) ≈ 0,167.
3. Для n = 3:
P(все разные) = 6/6 * 5/6 * 4/6 = 20/36 ≈ 0,556, следовательно, P(по крайней мере 2 одинаковых) ≈ 0,444.
4. Для n = 4:
P(все разные) = 6/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 = 60/216 = 10/36 ≈ 0,277, следовательно, P(по крайней мере 2 одинаковых) ≈ 0,723.
Теперь мы нашли значение n, при котором вероятность получения хотя бы двух одинаковых чисел становится больше 0,5.
Ответ:
Необходимо совершить 4 броска, чтобы вероятность получения хотя бы двух одинаковых чисел была больше 0,5.