дано:
- количество граней кубика = 6
- вероятность появления единицы в одном броске = 1/6
- вероятность того, что не выпадет единица в одном броске = 5/6
найти:
количество бросков кубика n, при котором вероятность появления хотя бы одной единицы превышает 0,9, 0,99 и 0,999.
решение:
Вероятность того, что в n бросках не будет ни одной единицы (т.е. все остальные грани) можно выразить как:
P(0 единиц) = (5/6)^n.
Вероятность того, что хотя бы одна единица появится, равна:
P(хотя бы одна единица) = 1 - P(0 единиц) = 1 - (5/6)^n.
Для нахождения необходимого количества бросков n будем решать неравенства:
1. Для P(хотя бы одна единица) > 0,9:
1 - (5/6)^n > 0,9
(5/6)^n < 0,1.
Теперь найдем минимальное значение n:
log((5/6)^n) < log(0,1)
n * log(5/6) < log(0,1)
n > log(0,1) / log(5/6).
Вычисляем:
log(0,1) = -1 (по основанию 10)
log(5/6) ≈ -0,07918.
Таким образом:
n > -1 / -0,07918 ≈ 12,63.
Следовательно, n = 13 (так как количество бросков должно быть целым).
2. Для P(хотя бы одна единица) > 0,99:
1 - (5/6)^n > 0,99
(5/6)^n < 0,01.
Находим минимальное n:
log((5/6)^n) < log(0,01)
n * log(5/6) < log(0,01)
n > log(0,01) / log(5/6).
Вычисляем:
log(0,01) = -2
log(5/6) ≈ -0,07918.
Таким образом:
n > -2 / -0,07918 ≈ 25,24.
Следовательно, n = 26.
3. Для P(хотя бы одна единица) > 0,999:
1 - (5/6)^n > 0,999
(5/6)^n < 0,001.
Находим минимальное n:
log((5/6)^n) < log(0,001)
n * log(5/6) < log(0,001)
n > log(0,001) / log(5/6).
Вычисляем:
log(0,001) = -3
log(5/6) ≈ -0,07918.
Таким образом:
n > -3 / -0,07918 ≈ 37,84.
Следовательно, n = 38.
ответ:
для вероятности появления хотя бы одной единицы больше 0,9 нужно 13 бросков; для вероятности больше 0,99 нужно 26 бросков; для вероятности больше 0,999 нужно 38 бросков.