Дано:
Число дней в году: 365.
Мы хотим определить количество людей n в классе, чтобы вероятность того, что хотя бы двое из них имеют совпадающие дни рождения, была больше 0,5, 0,9, 0,99 и равна 1.
Найти:
Минимальное значение n для указанных вероятностей.
Решение:
1. Вероятность того, что все n человек имеют разные дни рождения:
P(разные) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * ... * (365 - n + 1)/365.
Это выражение можно записать в виде:
P(разные) = 365! / ((365 - n)! * 365^n).
2. Вероятность того, что хотя бы двое имеют одинаковый день рождения:
P(совпадение) = 1 - P(разные).
Теперь мы будем находить n для разных вероятностей.
а) Для P(совпадение) > 0,5.
1 - P(разные) > 0,5
P(разные) < 0,5.
Чтобы найти n, можно использовать перебор:
- n = 1: P(разные) = 1.
- n = 2: P(разные) = (365/365) * (364/365) ≈ 0,99726.
- n = 3: P(разные) = (365/365) * (364/365) * (363/365) ≈ 0,99180.
- n = 4: P(разные) = (365/365) * (364/365) * (363/365) * (362/365) ≈ 0,98364.
- ...
- n = 22: P(разные) ≈ 0,524.
P(разные) < 0,5 при n = 23.
Ответ: n = 23.
б) Для P(совпадение) > 0,9.
1 - P(разные) > 0,9
P(разные) < 0,1.
Проверяем:
- n = 25: P(разные) ≈ 0,431.
- n = 30: P(разные) ≈ 0,293.
- n = 35: P(разные) ≈ 0,109.
- n = 36: P(разные) < 0,1.
Ответ: n = 36.
в) Для P(совпадение) > 0,99.
1 - P(разные) > 0,99
P(разные) < 0,01.
Проверяем:
- n = 40: P(разные) ≈ 0,099.
- n = 41: P(разные) < 0,01.
Ответ: n = 41.
г) Для P(совпадение) = 1.
Вероятность совпадения дней рождения равна 1, если n > 365. При 366 людях по принципу Дирихле, хотя бы у двоих обязательно совпадет день рождения.
Ответ: n = 366.