Дано:
- Четыре кубика.
- Случайная величина K равна количеству различных чисел, которые выпали на кубиках.
Необходимо найти: возможные значения K и вероятность каждого из этих значений.
Решение:
При броске четырех кубиков каждая грань имеет 6 возможных значений (1, 2, 3, 4, 5, 6). Количество различных чисел K может принимать следующие значения:
1. K = 1: все кубики показывают одно и то же число.
2. K = 2: два разных числа выпали, например, два 1 и два 2.
3. K = 3: три различных числа, например, 1, 2, 3.
4. K = 4: все кубики показывают разные числа.
Теперь посчитаем количество благоприятных исходов для каждого случая и найдем соответствующие вероятности.
Общее количество исходов при броске 4 кубиков равно 6^4 = 1296.
1. Вероятность K = 1:
- Есть 6 способов выбрать одно число (все кубики показывают один и тот же результат).
- Количество благоприятных исходов: 6.
- Вероятность P(K=1) = 6/1296 = 1/216.
2. Вероятность K = 2:
- Выбираем 2 числа из 6: C(6, 2) = 15 способов.
- Каждое из выбранных чисел должно появиться по 2 раза. Количество перестановок для двух одинаковых чисел: 4! / (2! * 2!) = 6.
- Всего благоприятных исходов: 15 * 6 = 90.
- Вероятность P(K=2) = 90/1296 = 5/72.
3. Вероятность K = 3:
- Выбираем 3 числа из 6: C(6, 3) = 20 способов.
- Одно из чисел появится 2 раза, а два других - по 1 разу. Количество перестановок: 4! / (2! * 1! * 1!) = 12.
- Всего благоприятных исходов: 20 * 12 = 240.
- Вероятность P(K=3) = 240/1296 = 10/54 = 5/27.
4. Вероятность K = 4:
- Выбираем 4 числа из 6: C(6, 4) = 15 способов.
- Все числа должны быть различными, порядок не важен (т.к. кубики разные). Перестановок: 4! = 24.
- Всего благоприятных исходов: 15 * 24 = 360.
- Вероятность P(K=4) = 360/1296 = 5/18.
Ответ:
- P(K=1) = 1/216
- P(K=2) = 5/72
- P(K=3) = 5/27
- P(K=4) = 5/18