Дано:
Бросают три кубика. Случайная величина K равна количеству различных чисел, которые при этом выпали. Кубики имеют 6 граней, и числа от 1 до 6.
Найти:
Закон распределения случайной величины K.
Решение:
Возможные значения K: 1, 2, 3.
1. K = 1: Все три кубика показывают одно и то же число. Например, (1, 1, 1), (2, 2, 2), ..., (6, 6, 6). Всего есть 6 таких случаев. Вероятность P(K = 1) = 6 / 216 = 1 / 36.
2. K = 2: Два кубика показывают одно и то же число, а третий — другое. Возможные комбинации:
- Выбираем 2 числа из 6: C(6, 2) способов.
- Для каждого выбранного числа возможные варианты: например, для чисел a и b могут быть (a, a, b), (a, b, a), (b, a, a) — всего 3 способа расположить эти два числа.
Таким образом, общее количество способов:
C(6, 2) * 3 = 15 * 3 = 45.
Вероятность P(K = 2) = 45 / 216 = 15 / 72 = 5 / 24.
3. K = 3: Все три кубика показывают разные числа. Мы выбираем 3 числа из 6 и размещаем их на кубиках. Количество способов выбрать 3 числа: C(6, 3). Для каждого набора из 3 чисел существует 3! (факториал 3) перестановок.
Общее количество способов:
C(6, 3) * 3! = 20 * 6 = 120.
Вероятность P(K = 3) = 120 / 216 = 20 / 36 = 5 / 9.
Теперь подведем итоги и составим закон распределения:
K | Вероятность P(K)
--|-----------------
1 | 1/36
2 | 5/24
3 | 5/9
Ответ:
Закон распределения случайной величины K представлен в таблице выше.