Дано:
- Монету бросают n = 7 раз.
- Вероятность выпадения решки p = 0,5 (так как монета честная).
- Случайная величина S равна количеству выпавших решек.
Найти:
а) Вероятность события (S = 4);
б) Вероятность события (S = 7).
Решение:
Вероятность получить k успехов (выпавших решек) из n независимых бросков монеты описывается биномиальным распределением и вычисляется по формуле:
P(S = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),
где C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!) — биномиальный коэффициент.
а) Для (S = 4):
n = 7, k = 4, p = 0,5.
Сначала найдём биномиальный коэффициент C(7, 4):
C(7, 4) = 7! / (4! * (7 - 4)!) = 7! / (4! * 3!) = (7 * 6 * 5) / (3 * 2 * 1) = 35.
Теперь подставим значения в формулу вероятности:
P(S = 4) = C(7, 4) * (0,5)^4 * (0,5)^(7 - 4) = 35 * (0,5)^4 * (0,5)^3 = 35 * (0,5)^7.
Вычислим (0,5)^7:
(0,5)^7 = 1/128.
Теперь подставим:
P(S = 4) = 35 * (1/128) = 35/128 ≈ 0,2734.
б) Для (S = 7):
n = 7, k = 7, p = 0,5.
Сначала найдём биномиальный коэффициент C(7, 7):
C(7, 7) = 7! / (7! * 0!) = 1.
Теперь подставим значения в формулу вероятности:
P(S = 7) = C(7, 7) * (0,5)^7 * (0,5)^(7 - 7) = 1 * (0,5)^7 * (0,5)^0 = 1 * (0,5)^7.
Мы уже вычисляли (0,5)^7:
P(S = 7) = 1/128.
Ответ:
а) Вероятность события (S = 4) приблизительно равна 0,2734.
б) Вероятность события (S = 7) равна 1/128.