Дано:
В партии 10% нестандартных деталей. Из нее наугад отбирают 4 детали. Вероятность выбрать нестандартную деталь p = 0.1, а вероятность выбрать стандартную деталь q = 1 - p = 0.9.
Найти:
Закон распределения случайной величины X, равной числу нестандартных деталей среди отобранных, и наиболее вероятное число нестандартных деталей в выборке.
Решение:
Случайная величина X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 4 (количество отобранных деталей) и p = 0.1 (вероятность успешного исхода, т.е. выбора нестандартной детали).
Формула для вероятности P(X = k) для биномиального распределения:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
где C(n, k) – биномиальный коэффициент, который вычисляется как:
C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)
Теперь будем вычислять вероятность для k от 0 до 4:
1. Для k = 0:
P(X = 0) = C(4, 0) * (0.1)^0 * (0.9)^4
= 1 * 1 * (0.9)^4
= 0.6561
2. Для k = 1:
P(X = 1) = C(4, 1) * (0.1)^1 * (0.9)^3
= 4 * (0.1) * (0.9)^3
= 4 * 0.1 * 0.729
= 0.2916
3. Для k = 2:
P(X = 2) = C(4, 2) * (0.1)^2 * (0.9)^2
= 6 * (0.1)^2 * (0.9)^2
= 6 * 0.01 * 0.81
= 0.0486
4. Для k = 3:
P(X = 3) = C(4, 3) * (0.1)^3 * (0.9)^1
= 4 * (0.1)^3 * (0.9)^1
= 4 * 0.001 * 0.9
= 0.0036
5. Для k = 4:
P(X = 4) = C(4, 4) * (0.1)^4 * (0.9)^0
= 1 * (0.1)^4 * 1
= 0.0001
Теперь подводим итоги по вероятностям:
- P(X = 0) = 0.6561
- P(X = 1) = 0.2916
- P(X = 2) = 0.0486
- P(X = 3) = 0.0036
- P(X = 4) = 0.0001
Наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой выборке - это значение X = 0, так как вероятность P(X = 0) является наибольшей.
Ответ:
Закон распределения случайной величины X представлен значениями:
P(X = 0) = 0.6561, P(X = 1) = 0.2916, P(X = 2) = 0.0486, P(X = 3) = 0.0036, P(X = 4) = 0.0001. Наиболее вероятное число нестандартных деталей в выборке - 0.