Дано:
В ящике лежат 5 белых и 5 черных шаров. Из него наугад вытаскивают 4 шара. Случайная величина X равна числу белых шаров в полученной выборке.
Найти:
Закон распределения случайной величины X.
Решение:
Сначала определим возможные значения случайной величины X. Поскольку в ящике 5 белых и 5 черных шаров, при вытаскивании 4 шаров количество белых шаров (X) может принимать значения от 0 до 4.
Теперь посчитаем вероятность того, что в вытянутой выборке будет k белых шаров, где k = 0, 1, 2, 3, 4.
Общее число способов выбрать 4 шара из 10 равно C(10, 4).
Теперь рассчитаем вероятности для каждого значения k:
1. P(X = 0): Все 4 шара черные.
- Количество способов выбрать 0 белых и 4 черных: C(5, 0) * C(5, 4).
- Вероятность: P(X = 0) = C(5, 0) * C(5, 4) / C(10, 4) = 1 * 5 / 210 = 5 / 210 = 1 / 42.
2. P(X = 1): Один шар белый и три черных.
- Количество способов выбрать 1 белый и 3 черных: C(5, 1) * C(5, 3).
- Вероятность: P(X = 1) = C(5, 1) * C(5, 3) / C(10, 4) = 5 * 10 / 210 = 50 / 210 = 5 / 21.
3. P(X = 2): Два шара белых и два черных.
- Количество способов выбрать 2 белых и 2 черных: C(5, 2) * C(5, 2).
- Вероятность: P(X = 2) = C(5, 2) * C(5, 2) / C(10, 4) = 10 * 10 / 210 = 100 / 210 = 10 / 21.
4. P(X = 3): Три шара белых и один черный.
- Количество способов выбрать 3 белых и 1 черный: C(5, 3) * C(5, 1).
- Вероятность: P(X = 3) = C(5, 3) * C(5, 1) / C(10, 4) = 10 * 5 / 210 = 50 / 210 = 5 / 21.
5. P(X = 4): Все 4 шара белые.
- Количество способов выбрать 4 белых и 0 черных: C(5, 4) * C(5, 0).
- Вероятность: P(X = 4) = C(5, 4) * C(5, 0) / C(10, 4) = 5 * 1 / 210 = 5 / 210 = 1 / 42.
Теперь подведем итоги по вероятностям:
- P(X = 0) = 1/42
- P(X = 1) = 5/21
- P(X = 2) = 10/21
- P(X = 3) = 5/21
- P(X = 4) = 1/42
Ответ:
Закон распределения случайной величины X представлен следующими значениями:
P(X = 0) = 1/42, P(X = 1) = 5/21, P(X = 2) = 10/21, P(X = 3) = 5/21, P(X = 4) = 1/42.