Дано:
Шахматисты A и Б играют финальный матч до победы в двух партиях. Вероятность ничьей в любой партии составляет 0,5. Шансы на выигрыш у шахматистов равны.
Найти:
Закон распределения случайной величины X, равной количеству партий в финальном матче.
Решение:
Обозначим вероятность выигрыша игрока A как p = 0,25 и игрока Б как p = 0,25 (поскольку шансы равны). Вероятность ничьей равна q = 0,5.
Теперь определим возможные значения X:
1. X = 2: Игра заканчивается за 2 партии. Это возможно только если один из игроков выиграет обе партии. Возможные результаты: AA или BB. Вероятность = p^2 + p^2 = 0,25^2 + 0,25^2 = 0,0625 + 0,0625 = 0,125.
2. X = 3: Игра заканчивается за 3 партии. В этом случае один из игроков должен выиграть 2 партии, а одна партия должна закончиться вничью. Возможные комбинации: AAB, ABA, BAA для игрока A и BBA, BAB, ABB для игрока Б. Вероятность = C(2,1) * (p^2) * (q) + C(2,1) * (p^2) * (q) = 3 * (0,25^2) * (0,5) + 3 * (0,25^2) * (0,5) = 3*0,0625*0,5 + 3*0,0625*0,5 = 0,1875 + 0,1875 = 0,375.
3. X = 4: Игра заканчивается за 4 партии. В этой ситуации один из игроков должен выиграть 2 партии, а две партии должны закончиться вничью. Возможные комбинации: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA. Вероятность = C(2,2) * (p^2) * (q^2) = 6 * (0,25^2) * (0,5^2) = 6 * 0,0625 * 0,25 = 0,09375.
4. X = 5: Игра заканчивается за 5 партий. В этом случае один из игроков должен выиграть 2 партии, а три партии должны закончиться вничью. Возможные комбинации: AA***, A*A**, A**A*, B**B*, B*B*A, где * - ничья. Вероятность = C(3,2) * (p^2) * (q^3) = 10 * (0,25^2) * (0,5^3) = 10 * 0,0625 * 0,125 = 0,078125.
Теперь подведем итоги и составим закон распределения:
X | Вероятность P(X)
--|-----------------
2 | 0,125
3 | 0,375
4 | 0,09375
5 | 0,078125
Ответ:
Закон распределения случайной величины X представлен в таблице выше.