дано:
Количество учёных = 2n. Из них n учёных знают о новом научном открытии. Учёные случайным образом размещены в двухместных номерах.
найти:
Математическое ожидание числа учёных, знавших о новом научном открытии на следующий день.
решение:
Обозначим случайную величину X как количество учёных, которые узнали о новом научном открытии на следующий день. Мы можем представить X как сумму m случайных величин X1, X2, ..., X2n, где Xi = 1, если i-й учёный узнал о новом открытии (либо сам знал, либо узнал от соседа), и Xi = 0 в противном случае.
Таким образом:
X = X1 + X2 + ... + X2n.
Теперь найдем математическое ожидание E(X):
E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(X2n).
Рассмотрим E(Xi) для любого учёного i:
1. Если учёный i уже знает об открытии, то он точно будет включён в число тех, кто знает. Вероятность этого события равна n/(2n) = 1/2.
2. Если учёный i не знает об открытии, он может узнать о нём от соседа по номеру. Каждый номер состоит из 2 учёных, и вероятность того, что сосед i-го учёного знает об открытии, равна n/(2n - 1). То есть вероятность того, что i-й учёный узнает о новом открытии от соседа, если сам не знал, равна (n/(2n - 1)) * (1/2).
Объединим эти два случая для вычисления E(Xi):
E(Xi) = P(i-й учёный знает) + P(i-й учёный не знает) * P(сосед знает) = (1/2) + (1/2) * (n/(2n - 1)).
Теперь подставим значение E(Xi) в выражение для E(X):
E(X) = E(X1) + E(X2) + ... + E(X2n) = 2n * E(Xi) = 2n * [(1/2) + (1/2) * (n/(2n - 1))] = n + n^2/(2n - 1).
ответ:
Математическое ожидание числа учёных, знавших о новом открытии на следующий день, равно n + n^2/(2n - 1).