Дано: квадрат со стороной 1, случайная точка A(x, y) внутри квадрата. Случайная величина X — расстояние от точки A до ближайшей стороны квадрата.
1. Найти функцию распределения случайной величины X.
Решение:
Расстояние от точки (x, y) до ближайшей стороны квадрата можно записать как:
X = min(x, 1 - x, y, 1 - y).
Для нахождения функции распределения F(x) = P(X ≤ x), нужно учитывать, что X может принимать значения от 0 до 0.5 (так как ближайшее расстояние к стороне квадрата не может быть больше 0.5).
Если X ≤ x, это значит, что хотя бы одна из координат точки (x, y) находится в пределах x от ближайшей стороны, что соответствует следующим условиям:
x ≤ x
или
1 - x ≤ x
или
y ≤ x
или
1 - y ≤ x.
С учетом этого, мы можем выразить вероятность через площадь:
F(x) = P(X ≤ x) = 1 - P(X > x)
= 1 - P(x < X ≤ 0.5) = 1 - P(x < min(x, 1-x, y, 1-y) ≤ 0.5)
Площадь, соответствующая условиям x >= x и 1-x >= x, определяется как площадь центрального квадрата со стороной (1 - 2x).
Таким образом:
F(x) = 1 - (1 - 2x)^2 = 4x - 4x^2 для 0 <= x <= 0.5.
2. Найти плотность распределения случайной величины X.
Решение:
Плотность вероятности f(x) равна производной функции распределения F(x):
f(x) = dF(x)/dx = d(4x - 4x^2)/dx
= 4 - 8x для 0 <= x <= 0.5.
3. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.
Решение:
Математическое ожидание E(X) вычисляется по формуле:
E(X) = ∫_0^0.5 x * f(x) dx
= ∫_0^0.5 x * (4 - 8x) dx
= ∫_0^0.5 (4x - 8x^2) dx
= [2x^2 - (8/3)x^3]_0^0.5
= 2*(0.5)^2 - (8/3)*(0.5)^3
= 2*(0.25) - (8/3)*(0.125)
= 0.5 - (1/3)
= 0.5 - 0.3333...
= 0.1667.
Дисперсия D(X) вычисляется по формуле:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2,
где E(X^2) можно найти так:
E(X^2) = ∫_0^0.5 x^2 * f(x) dx
= ∫_0^0.5 x^2 * (4 - 8x) dx
= ∫_0^0.5 (4x^2 - 8x^3) dx
= [ (4/3)x^3 - 2x^4 ]_0^0.5
= (4/3)*(0.5)^3 - 2*(0.5)^4
= (4/3)*(0.125) - 2*(0.0625)
= (0.16667) - (0.125)
= 0.04167.
Теперь находим дисперсию:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
= 0.04167 - (0.1667)^2
= 0.04167 - 0.02778
= 0.01389.
Ответ:
Функция распределения F(x) = 4x - 4x^2 для 0 <= x <= 0.5.
Плотность распределения f(x) = 4 - 8x для 0 <= x <= 0.5.
Математическое ожидание E(X) ≈ 0.1667.
Дисперсия D(X) ≈ 0.01389.