дано:
- Петя ждет автобус с интервалом 10 минут. Вероятность того, что он уедет в момент времени t (0 ≤ t < 10) равномерно распределена на отрезке [0, 10]. Время ожидания X ~ U(0, 10).
- Вася ждет троллейбус с интервалом 5 минут. Вероятность того, что он уедет в момент времени t (0 ≤ t < 5) также равномерно распределена на отрезке [0, 5]. Время ожидания Y ~ U(0, 5).
- Таня может уехать как на автобусе, так и на троллейбусе.
найти:
а) функции распределения величин X, Y, Z,
б) плотности распределения этих величин и их графики,
в) математическое ожидание этих величин.
решение:
а) Функции распределения F_X(x), F_Y(y), F_Z(z):
1. Для Пети:
F_X(x) = 0 при x < 0
F_X(x) = x/10 при 0 ≤ x < 10
F_X(x) = 1 при x ≥ 10
2. Для Васи:
F_Y(y) = 0 при y < 0
F_Y(y) = y/5 при 0 ≤ y < 5
F_Y(y) = 1 при y ≥ 5
3. Для Тани:
Таня может выбрать либо автобус, либо троллейбус, поэтому ее функция распределения будет:
F_Z(z) = P(Z ≤ z) = P(X ≤ z) + P(Y ≤ z) - P(X ≤ z) * P(Y ≤ z)
где Z - минимум из X и Y. Чтобы найти эту функцию, необходимо учитывать различные случаи для значений z.
б) Плотности распределения f_X(x), f_Y(y), f_Z(z):
1. Для Пети:
f_X(x) = 1/10 при 0 ≤ x < 10
f_X(x) = 0 при x < 0 и x ≥ 10
2. Для Васи:
f_Y(y) = 1/5 при 0 ≤ y < 5
f_Y(y) = 0 при y < 0 и y ≥ 5
3. Для Тани:
Плотность распределения Z можно найти через метод нахождения распределения минимума двух независимых равномерных величин. Для этого:
f_Z(z) = f_X(z) * (1 - F_Y(z)) + f_Y(z) * (1 - F_X(z))
Графики плотностей:
- График f_X(x) - прямая, равномерная на отрезке [0, 10] с высотой 0.1.
- График f_Y(y) - прямая, равномерная на отрезке [0, 5] с высотой 0.2.
- График f_Z(z) будет иметь форму, основанную на комбинации этих двух функций.
в) Математическое ожидание:
1. Для Пети:
E(X) = (0 + 10) / 2 = 5 минут
2. Для Васи:
E(Y) = (0 + 5) / 2 = 2.5 минуты
3. Для Тани:
E(Z) = E(min(X, Y)) = E(X) + E(Y) - E(X) * E(Y)
Сначала нужно рассчитать E(X) и E(Y), а затем использовать формулу для ожидания минимума.
ответ:
E(X) = 5 минут
E(Y) = 2.5 минуты
E(Z) = 5 + 2.5 - (5 * 2.5 / 10) = 7.5 минуты