Дано:
Случайные величины X и Y независимы и имеют биномиальные распределения:
X ~ Bin(n, p) и Y ~ Bin(m, p).
Найти:
Распределение случайной величины Z = X + Y.
Решение:
1. По определению, если X ~ Bin(n, p), то:
P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k), где k = 0, 1, ..., n.
2. Аналогично, для Y ~ Bin(m, p):
P(Y = j) = C(m, j) * p^j * (1 - p)^(m - j), где j = 0, 1, ..., m.
3. Нам нужно найти распределение Z = X + Y. Для этого воспользуемся свойством независимых случайных величин. Мы можем записать вероятность того, что сумма равна некоторому значению k:
P(Z = k) = Σ P(X = i) * P(Y = k - i), где суммируем по всем возможным значениям i.
4. Теперь подставим выражения для P(X = i) и P(Y = k - i):
P(Z = k) = Σ [C(n, i) * p^i * (1 - p)^(n - i)] * [C(m, k - i) * p^(k - i) * (1 - p)^(m - (k - i))].
5. Упрощаем это выражение:
P(Z = k) = Σ C(n, i) * C(m, k - i) * p^k * (1 - p)^(n + m - k).
6. Заметим, что p^k * (1 - p)^(n + m - k) можно вынести за знак суммы:
P(Z = k) = p^k * (1 - p)^(n + m - k) * Σ C(n, i) * C(m, k - i).
7. Обратите внимание на то, что сумма Σ C(n, i) * C(m, k - i) равна C(n + m, k) по теореме о binomial coefficients.
8. Таким образом, получаем:
P(Z = k) = C(n + m, k) * p^k * (1 - p)^(n + m - k).
9. Это означает, что Z имеет биномиальное распределение:
Z ~ Bin(n + m, p).
Ответ:
Случайная величина Z = X + Y имеет биномиальное распределение Bin(n + m, p).