Дано:
Количество ошибок на Тотальном диктанте (X): 3, 0, 1, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 4
Количество прочитанных книг (Y): 2, 6, 4, 5, 5, 4, 2, 5, 4, 1
Найти:
1. Уравнение линейной регрессии Y на X.
2. Уравнение линейной регрессии X на Y.
Решение:
Сначала вычислим необходимые суммы:
N = 10 (количество наблюдений)
Суммы:
- ΣX = 3 + 0 + 1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 1 + 0 + 4 = 17
- ΣY = 2 + 6 + 4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 5 + 4 + 1 = 38
- ΣXY = 3*2 + 0*6 + 1*4 + 1*5 + 2*5 + 3*4 + 2*2 + 1*5 + 0*4 + 4*1 = 48
- ΣX^2 = 3^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 + 0^2 + 4^2 = 46
- ΣY^2 = 2^2 + 6^2 + 4^2 + 5^2 + 5^2 + 4^2 + 2^2 + 5^2 + 4^2 + 1^2 = 122
Теперь можно вычислить коэффициенты для уравнения регрессии Y на X.
Коэффициент наклона b_Y = (N * ΣXY - ΣX * ΣY) / (N * ΣX^2 - (ΣX)^2)
Подставляем значения:
b_Y = (10 * 48 - 17 * 38) / (10 * 46 - 17^2) = (480 - 646) / (460 - 289) = -166 / 171 ≈ -0.97
Свободный член a_Y = (ΣY - b_Y * ΣX) / N
Подставляем значения:
a_Y = (38 - (-0.97) * 17) / 10 = (38 + 16.49) / 10 = 54.49 / 10 ≈ 5.45
Таким образом, уравнение регрессии Y на X:
Y = -0.97X + 5.45
Теперь найдем уравнение регрессии X на Y.
Коэффициент наклона b_X = (N * ΣXY - ΣY * ΣX) / (N * ΣY^2 - (ΣY)^2)
Подставляем значения:
b_X = (10 * 48 - 38 * 17) / (10 * 122 - 38^2) = (480 - 646) / (1220 - 1444) = -166 / -224 ≈ 0.74
Свободный член a_X = (ΣX - b_X * ΣY) / N
Подставляем значения:
a_X = (17 - 0.74 * 38) / 10 = (17 - 28.12) / 10 = -11.12 / 10 ≈ -1.11
Таким образом, уравнение регрессии X на Y:
X = 0.74Y - 1.11
Ответ:
Уравнение регрессии Y на X: Y = -0.97X + 5.45
Уравнение регрессии X на Y: X = 0.74Y - 1.11