Дано:
Рассмотрим две переменные: X и Y. Обозначим:
- K - уравнение регрессии Y на X
- X* - уравнение регрессии X на Y
Уравнения линейной регрессии имеют следующий вид:
1. Уравнение регрессии Y на X:
Y = a_Y + b_Y * X, где b_Y - коэффициент наклона, а a_Y - свободный член.
2. Уравнение регрессии X на Y:
X = a_X + b_X * Y, где b_X - коэффициент наклона, а a_X - свободный член.
Коэффициенты наклона можно выразить через выборочный коэффициент корреляции R и стандартные отклонения переменных:
b_Y = R * (σ_Y / σ_X)
b_X = R * (σ_X / σ_Y)
где σ_Y и σ_X - стандартные отклонения соответственно переменной Y и переменной X.
Найти:
Доказать, что уравнения линейной регрессии K на X и X* на Y дают одинаковые прямые тогда и только тогда, когда R = 1 или R = -1.
Решение:
Для того чтобы уравнения регрессии были одинаковыми, необходимо и достаточно равенство их коэффициентов наклона.
Приравняем b_Y и b_X:
R * (σ_Y / σ_X) = R * (σ_X / σ_Y)
Если R = 0, уравнения не будут совпадать. При этом R = 1 или R = -1 – единственные случаи, когда уравнения могут совпадать.
Рассмотрим оба случая:
1. Если R = 1:
Это означает положительную корреляцию между X и Y. В этом случае:
b_Y = (σ_Y / σ_X) и b_X = (σ_X / σ_Y).
Таким образом, уравнения будут одинаковыми.
2. Если R = -1:
Это означает отрицательную корреляцию между X и Y. В этом случае:
b_Y = -(σ_Y / σ_X) и b_X = -(σ_X / σ_Y).
Опять же, уравнения будут одинаковыми, просто с противоположным знаком.
Теперь проверим другую сторону:
Если уравнения K на X и X* на Y совпадают, то их наклоны равны, следовательно:
R * (σ_Y / σ_X) = R * (σ_X / σ_Y).
Если R ≠ 0, делим обе стороны на R:
(σ_Y / σ_X) = (σ_X / σ_Y).
Перекрестно умножая, получаем:
σ_Y^2 = σ_X^2.
Это возможно только в случае, если σ_Y = σ_X или σ_Y = -σ_X, что соответствует R = 1 или R = -1.
Ответ:
Уравнения линейной регрессии K на X и X* на Y дают одинаковые прямые тогда и только тогда, когда выборочный коэффициент корреляции этих величин равен 1 или -1.