Дано:
Мы рассматриваем случай, когда коэффициент корреляции R = 0. Это означает, что между переменными X и Y нет линейной зависимости.
Пример выборки (X, Y):
1. (1, 3)
2. (2, 5)
3. (4, 2)
4. (3, 4)
5. (5, 1)
Найти:
Уравнения регрессии Y на X и X на Y.
Решение:
Сначала найдем необходимые суммы для расчета уравнений регрессии.
N = 5 (количество наблюдений)
Суммы:
- ΣX = 1 + 2 + 4 + 3 + 5 = 15
- ΣY = 3 + 5 + 2 + 4 + 1 = 15
- ΣXY = 1*3 + 2*5 + 4*2 + 3*4 + 5*1 = 3 + 10 + 8 + 12 + 5 = 38
- ΣX^2 = 1^2 + 2^2 + 4^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 4 + 16 + 9 + 25 = 55
- ΣY^2 = 3^2 + 5^2 + 2^2 + 4^2 + 1^2 = 9 + 25 + 4 + 16 + 1 = 55
Теперь можем вычислить коэффициенты для уравнения регрессии Y на X.
Коэффициент наклона b_Y = (N * ΣXY - ΣX * ΣY) / (N * ΣX^2 - (ΣX)^2)
Подставляем значения:
b_Y = (5 * 38 - 15 * 15) / (5 * 55 - 15^2) = (190 - 225) / (275 - 225) = -35 / 50 = -0.7
Свободный член a_Y = (ΣY - b_Y * ΣX) / N
Подставляем значения:
a_Y = (15 - (-0.7) * 15) / 5 = (15 + 10.5) / 5 = 25.5 / 5 = 5.1
Таким образом, уравнение регрессии Y на X:
Y = -0.7X + 5.1
Теперь найдем уравнение регрессии X на Y.
Коэффициент наклона b_X = (N * ΣXY - ΣY * ΣX) / (N * ΣY^2 - (ΣY)^2)
Подставляем значения:
b_X = (5 * 38 - 15 * 15) / (5 * 55 - 15^2) = (190 - 225) / (275 - 225) = -35 / 50 = -0.7
Свободный член a_X = (ΣX - b_X * ΣY) / N
Подставляем значения:
a_X = (15 - (-0.7) * 15) / 5 = (15 + 10.5) / 5 = 25.5 / 5 = 5.1
Таким образом, уравнение регрессии X на Y:
X = -0.7Y + 5.1
Ответ:
Уравнение регрессии Y на X: Y = -0.7X + 5.1
Уравнение регрессии X на Y: X = -0.7Y + 5.1
При этом, несмотря на то, что в данной выборке значения переменных могут не имеют прямой зависимости, совпадение значений вытягивает линии регрессии.