Дано:
- В семье Петровых четверо детей.
- Каждый ребёнок может быть мальчиком (М) или девочкой (Д).
- Предполагаем, что вероятность рождения мальчика и девочки равна 1/2.
Найти:
а) Вероятность того, что ровно двое из четырёх детей — мальчики.
б) Вероятность того, что ровно трое из четырёх детей — мальчики.
Решение:
Общее количество способов, которыми могут родиться 4 ребенка, равно 2^4 = 16.
Для нахождения вероятности использования биномиального распределения:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)
где:
- P(k) — вероятность того, что будет k успешных исходов (мальчиков).
- C(n, k) — биномиальный коэффициент (число сочетаний n по k).
- p — вероятность успеха (0.5 для мальчика).
- n — общее число испытаний (4 в данном случае).
- k — число успешных исходов (количество мальчиков).
а) Ровно двое — мальчики (k = 2):
C(4, 2) = 4! / (2! * 2!) = 6.
Теперь подставим в формулу:
P(2) = C(4, 2) * (1/2)^2 * (1/2)^(4-2)
= 6 * (1/2)^2 * (1/2)^2
= 6 * (1/16)
= 6/16 = 3/8.
б) Ровно трое — мальчики (k = 3):
C(4, 3) = 4! / (3! * 1!) = 4.
Теперь подставим в формулу:
P(3) = C(4, 3) * (1/2)^3 * (1/2)^(4-3)
= 4 * (1/2)^3 * (1/2)^1
= 4 * (1/16)
= 4/16 = 1/4.
Ответ:
а) Вероятность того, что ровно двое — мальчики, равна 3/8.
б) Вероятность того, что ровно трое — мальчики, равна 1/4.