Дано: в семье Петровых четверо детей, каждый из которых может быть мальчиком (М) или девочкой (Д). Предполагаем, что вероятность рождения мальчика и девочки равна 1/2.
Найти: возможные значения S (число мальчиков) и вероятность каждого из этих значений.
Решение:
а) Значения, которые может принимать S (число мальчиков):
- S может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4, так как в семье 4 ребенка.
б) Найдем вероятность каждого из значений S.
Общее количество возможных комбинаций при рождении 4 детей равно 2^4 = 16.
Теперь используем формулу для биномиального распределения:
P(k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),
где:
- P(k) — вероятность того, что будет k мальчиков,
- C(n, k) — биномиальный коэффициент (число сочетаний n по k),
- p — вероятность рождения мальчика (0.5),
- n — общее количество детей (4),
- k — число мальчиков.
Теперь рассчитаем вероятность для каждого значения S:
1. S = 0 (0 мальчиков):
C(4, 0) = 1.
P(0) = C(4, 0) * (0.5)^0 * (0.5)^4 = 1 * 1 * (1/16) = 1/16.
2. S = 1 (1 мальчик):
C(4, 1) = 4.
P(1) = C(4, 1) * (0.5)^1 * (0.5)^3 = 4 * (1/2) * (1/8) = 4/16 = 1/4.
3. S = 2 (2 мальчика):
C(4, 2) = 6.
P(2) = C(4, 2) * (0.5)^2 * (0.5)^2 = 6 * (1/4) * (1/4) = 6/16 = 3/8.
4. S = 3 (3 мальчика):
C(4, 3) = 4.
P(3) = C(4, 3) * (0.5)^3 * (0.5)^1 = 4 * (1/8) * (1/2) = 4/16 = 1/4.
5. S = 4 (4 мальчика):
C(4, 4) = 1.
P(4) = C(4, 4) * (0.5)^4 * (0.5)^0 = 1 * (1/16) * 1 = 1/16.
Ответ:
Вероятности для каждого значения S:
- P(0) = 1/16
- P(1) = 1/4
- P(2) = 3/8
- P(3) = 1/4
- P(4) = 1/16