Дано:
- Игральная кость имеет форму правильного тетраэдра с четырьмя гранями.
- Грани имеют следующие цвета кружков:
1. Синий
2. Зеленый
3. Красный
4. Все три цвета (синий, зеленый, красный)
Найти:
а) Являются ли независимыми события «На выпавшей грани есть синий кружок» и «На выпавшей грани есть красный кружок»?
б) Являются ли независимыми три события: «На выпавшей грани есть синий кружок», «На выпавшей грани есть зеленый кружок» и «На выпавшей грани есть красный кружок»?
Решение:
а) Обозначим события:
- A: на выпавшей грани есть синий кружок
- B: на выпавшей грани есть красный кружок
Вероятности:
P(A) = количество граней с синим кружком / общее количество граней = 3/4 (грань 1, 4)
P(B) = количество граней с красным кружком / общее количество граней = 3/4 (грань 3, 4)
Теперь найдем вероятность совместного события A и B:
P(A и B) = вероятность того, что на выпавшей грани есть и синий, и красный кружок = количество граней с синим и красным кружками / общее количество граней = 1/4 (грань 4).
Проверим независимость: события A и B независимы, если
P(A и B) = P(A) * P(B).
Подсчитаем:
P(A) * P(B) = (3/4) * (3/4) = 9/16.
P(A и B) = 1/4 = 4/16.
Поскольку 4/16 ≠ 9/16, события A и B не являются независимыми.
Ответ: События «На выпавшей грани есть синий кружок» и «На выпавшей грани есть красный кружок» не являются независимыми.
б) Обозначим события:
- A: на выпавшей грани есть синий кружок
- B: на выпавшей грани есть зеленый кружок
- C: на выпавшей грани есть красный кружок
Найдём вероятности:
P(A) = 3/4 (грань 1, 4)
P(B) = 3/4 (грань 2, 4)
P(C) = 3/4 (грань 3, 4)
Теперь найдём вероятности совместных событий:
P(A и B) = вероятность того, что на выпавшей грани есть и синий, и зеленый кружок = 1/4 (грань 4).
P(A и C) = вероятность того, что на выпавшей грани есть и синий, и красный кружок = 1/4 (грань 4).
P(B и C) = вероятность того, что на выпавшей грани есть и зеленый, и красный кружок = 1/4 (грань 4).
Теперь найдем вероятность совместного события A, B и C:
P(A и B и C) = вероятность того, что на выпавшей грани есть синий, зеленый и красный кружки = 1/4 (грань 4).
Проверим независимость: события A, B и C независимы, если
P(A и B) = P(A) * P(B)
P(A и C) = P(A) * P(C)
P(B и C) = P(B) * P(C)
P(A и B и C) = P(A) * P(B) * P(C).
Подсчитаем:
P(A) * P(B) = (3/4) * (3/4) = 9/16
P(A) * P(C) = (3/4) * (3/4) = 9/16
P(B) * P(C) = (3/4) * (3/4) = 9/16
P(A) * P(B) * P(C) = (3/4) * (3/4) * (3/4) = 27/64.
Поскольку P(A и B) = 1/4 = 16/64, P(A и C) = 1/4 = 16/64 и P(B и C) = 1/4 = 16/64, видно, что события A, B и C не независимы.
Ответ: События «На выпавшей грани есть синий кружок», «На выпавшей грани есть зеленый кружок» и «На выпавшей грани есть красный кружок» не являются независимыми.