Дано:
События A и B независимы.
Это значит, что P(A и B) = P(A) * P(B).
Найти:
Докажем, что события A и B также независимы, если известны их вероятности.
Решение:
1. Из определения независимости событий A и B имеем:
P(A и B) = P(A) * P(B).
2. Рассмотрим событие B и его зависимость от A. Если события A и B независимы, то это также подразумевает, что:
P(B | A) = P(B).
Где P(B | A) — условная вероятность события B при условии, что произошло событие A.
3. Используя формулу условной вероятности, мы можем выразить P(B | A):
P(B | A) = P(A и B) / P(A).
4. Подставим в уравнение значение P(A и B):
P(B | A) = (P(A) * P(B)) / P(A) = P(B).
5. Таким образом, мы получили, что:
P(B | A) = P(B).
6. Это показывает, что событие B не зависит от события A, что подтверждает их независимость.
Ответ: События A и B независимы, что и требовалось доказать.