дано:
- размер шахматной доски = 8x8
- количество ладей = k (где k = 8 для пункта а, k = 7 для пункта б, 2 < k < 8 для пункта в)
найти:
количество способов поставить ладьи на доску так, чтобы никакие две ладьи не били друг друга.
решение:
а) Для размещения 8 ладей на доске, каждая из которых занимает свою строку и свой столбец:
Мы можем выбрать 8 различных рядов (все ряды) и 8 различных колонок (все колонки), и затем разместить каждую ладью в одном из выбранных мест.
Количество способов расставить 8 ладей равно количеству перестановок 8 элементов, что равно 8! = 40320.
б) Для размещения 7 ладей на шахматной доске:
Сначала выбираем 7 рядов из 8 возможных:
C(8, 7) = 8.
Затем выбираем 7 колонок из 8 возможных:
C(8, 7) = 8.
Теперь размещаем ладьи в выбранных рядах и колонках, что также дает 7!.
Общее количество способов:
C(8, 7) * C(8, 7) * 7! = 8 * 8 * 5040 = 322560.
в) Для размещения k ладей, где 2 < k < 8:
Сначала выбираем k рядов из 8:
C(8, k).
Затем выбираем k колонок из 8:
C(8, k).
И размещаем ладьи в выбранных рядах и колонках:
k!.
Общее количество способов:
C(8, k) * C(8, k) * k!.
ответ:
а) 40320;
б) 322560;
в) C(8, k) * C(8, k) * k! для 2 < k < 8.