Дано:
Сергей проходит 3-й уровень игры. Вероятность пройти уровень: p. Вероятность не пройти уровень: q = 1 - p.
Найти:
а) Распределение индикатора события «k-я попытка оказалась неудачной».
б) Случайная величина X «Число потребовавшихся попыток» через индикаторы.
Решение:
а) Обозначим индикатор события «k-я попытка оказалась неудачной» как I_k.
I_k = 1, если k-я попытка неудачна,
I_k = 0, если k-я попытка удачна.
Распределение I_k:
P(I_k = 1) = q = 1 - p,
P(I_k = 0) = p.
Таким образом, для каждой попытки k:
- I_1: P(I_1 = 1) = q, P(I_1 = 0) = p
- I_2: P(I_2 = 1) = q, P(I_2 = 0) = p
- I_3: P(I_3 = 1) = q, P(I_3 = 0) = p
- и так далее.
б) Случайная величина X, равная числу попыток до успешного прохождения уровня, может быть выражена через индикаторы I_k.
X = I_1 + I_2 + ... + I_k, где k - это количество неудачных попыток до первой удачной.
Так как X включает все попытки до первой удачи, мы можем записать:
X = K + 1, где K - число неудачных попыток до первой удачи.
Случайная величина K подчиняется геометрическому распределению с параметром p.
Следовательно, K ~ Geometric(p).
Таким образом,
X = K + 1, и X подчиняется распределению:
X ~ Geometric(p) + 1.
Ответ:
а) Для каждого I_k: P(I_k = 1) = q, P(I_k = 0) = p.
б) X = K + 1, где K ~ Geometric(p).