Question

В Анчурии популярна лотерея «4 из 16». На билете написаны числа от 1 до 16. Цена билета 2 анчурийских доллара. Участник лотереи должен выбрать 4 числа. Потом проводится тираж — выбираются 4 случайных выигрышных номера. Если участник угадал все 4 номера, то получает 100 долларов, если 3 номера — 40 долларов, если 2 номера — 2 доллара, если 1 номер или меньше, то игрок не получает ничего. Составьте распределение случайной величины «Выигрыш на один билет» с учётом цены билета.

Answer 1

Дано:  
Участник лотереи выбирает 4 числа из 16. Цена билета: 2 анчурийских доллара. Выигрыши:  
- 100 долларов за 4 угаданных числа.  
- 40 долларов за 3 угаданных числа.  
- 2 доллара за 2 угаданных числа.  
- 0 долларов за 1 угаданное число или меньше.  

Найти:  
Распределение случайной величины «Выигрыш на один билет».

Решение:  
1. Общее количество способов выбрать 4 числа из 16:  
C(16, 4) = 16! / (4! * (16 - 4)!) = 1820.

2. Вероятности выигрыша:

- Вероятность угадать 4 числа:  
Число способов угадать 4 числа: C(4, 4) = 1.  
Число способов выбрать 0 чисел из оставшихся 12: C(12, 0) = 1.  
Вероятность P(4) = (C(4, 4) * C(12, 0)) / C(16, 4) = 1 / 1820.

- Вероятность угадать 3 числа:  
Число способов угадать 3 числа: C(4, 3) = 4.  
Число способов выбрать 1 число из оставшихся 12: C(12, 1) = 12.  
Вероятность P(3) = (C(4, 3) * C(12, 1)) / C(16, 4) = (4 * 12) / 1820 = 48 / 1820 = 12 / 455.

- Вероятность угадать 2 числа:  
Число способов угадать 2 числа: C(4, 2) = 6.  
Число способов выбрать 2 числа из оставшихся 12: C(12, 2) = 66.  
Вероятность P(2) = (C(4, 2) * C(12, 2)) / C(16, 4) = (6 * 66) / 1820 = 396 / 1820 = 99 / 455.

- Вероятность угадать 1 число:  
Число способов угадать 1 число: C(4, 1) = 4.  
Число способов выбрать 3 числа из оставшихся 12: C(12, 3) = 220.  
Вероятность P(1) = (C(4, 1) * C(12, 3)) / C(16, 4) = (4 * 220) / 1820 = 880 / 1820 = 44 / 91.

- Вероятность угадать 0 чисел:  
Число способов угадать 0 чисел: C(4, 0) = 1.  
Число способов выбрать 4 числа из оставшихся 12: C(12, 4) = 495.  
Вероятность P(0) = (C(4, 0) * C(12, 4)) / C(16, 4) = (1 * 495) / 1820 = 495 / 1820 = 99 / 364.

3. Вычисление выигрыша:

- Выигрыш при 4 угаданных: 100 - 2 = 98 долларов.
- Выигрыш при 3 угаданных: 40 - 2 = 38 долларов.
- Выигрыш при 2 угаданных: 2 - 2 = 0 долларов.
- Выигрыш при 1 угаданном или 0: 0 - 2 = -2 доллара.

4. Распределение случайной величины «Выигрыш на один билет»:

- X = 98, P(X = 98) = 1 / 1820.
- X = 38, P(X = 38) = 12 / 455.
- X = 0, P(X = 0) = 99 / 455.
- X = -2, P(X = -2) = 99 / 364.

Ответ:  
Распределение случайной величины «Выигрыш на один билет»:  
X = 98 с вероятностью 1 / 1820,  
X = 38 с вероятностью 12 / 455,  
X = 0 с вероятностью 99 / 455,  
X = -2 с вероятностью 99 / 364.