Дано:
- Куб 3x3x3 состоит из 27 игральных костей.
- На каждой кости 6 граней с числами от 1 до 6.
Найти:
а) Математическое ожидание суммы очков, оказавшихся на поверхности куба.
б) Математическое ожидание суммы очков, оказавшихся на поверхности куба, если известно, что никакие две кости не прилегают друг к другу одинаковыми гранями.
Решение:
а) Для начала найдем количество граней, находящихся на поверхности куба.
Куб 3x3x3 имеет 6 граней, каждая из которых содержит 9 клеток. Однако угловые и крайние клетки соседних граней также видны. Следовательно, число видимых (находящихся на поверхности) костей:
- Угловые кости: 8 штук (по одной на каждом углу).
- Краевые кости: 12 штук (по одной на каждой грани между угловыми).
- Центры граней: 6 штук (по одной в центре каждой грани).
Общее количество костей на поверхности получается:
N_surface = 8 + 12 + 6 = 26.
Теперь найдем математическое ожидание для одной кости. Сумма возможных значений на одной грани составляет:
S_faces = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.
Математическое ожидание для одной кости:
E_single = S_faces / 6 = 21 / 6 = 3.5.
Теперь найдем математическое ожидание суммы очков для всех костей на поверхности:
E_total = N_surface * E_single = 26 * 3.5 = 91.
Ответ на часть а:
Математическое ожидание суммы очков, оказавшихся на поверхности куба, равно 91.
б) Теперь учтем условие, что никакие две кости не прилегают друг к другу одинаковыми гранями.
В этом случае каждая кость будет показывать случайное значение от 1 до 6, но при этом не может показывать ту же грань, которая соприкасается с другой костью.
Пусть каждая кость на поверхности может показывать одно из 6 значений, но поскольку ни одна из них не может дублировать значение у соседней кости, то для 26 костей это означает, что каждая из них все равно имеет вероятность выбрать любое из 6 значений.
Таким образом, математическое ожидание для одной кости остаётся:
E_single = 3.5.
Следовательно, общее математическое ожидание суммы очков на поверхности остается прежним, так как мы по-прежнему ожидаем, что каждая кость будет иметь равную вероятность каждого значения:
E_total_restriction = N_surface * E_single = 26 * 3.5 = 91.
Ответ на часть б:
Математическое ожидание суммы очков, оказавшихся на поверхности куба, равно 91.