Дано:
- Всего костей: 27
- Каждая кость имеет 6 граней с числами от 1 до 6.
- Никакие две кости не прилегают одинаковыми гранями.
Найти: математическое ожидание суммы очков на поверхности куба.
Решение:
1. Обозначим количество костей на поверхности куба. Куб состоит из 6 граней, каждая из которых имеет 3x3 кости, всего 6*9 = 54. Но так как у нас всего 27 костей, то максимальное количество костей на поверхности равно 27.
2. Каждая кость может иметь значения от 1 до 6 на гранях. Поскольку никакие две кости не могут иметь одинаковые значения на прилегающих гранях, максимальное количество уникальных границ будет ограничено.
3. Найдем математическое ожидание для одной кости. Для одной кости математическое ожидание X будет:
E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 21 / 6 = 3.5.
4. Сумма очков на поверхности будет составлять E(S) = количество костей на поверхности * E(X).
5. Предположим, что на поверхности находятся все 27 костей, тогда:
E(S) = 27 * 3.5 = 94.5.
Однако, в реальности на поверхности будут находиться не все кости. Поскольку расположение костей случайное и уникальные грани, предположим, что на поверхности будут в среднем около 12 костей (взяв среднюю ситуацию).
6. Следовательно, скорректируем:
E(S) ≈ 12 * 3.5 = 42.
Ответ: Математическое ожидание суммы очков на поверхности куба примерно равно 42.