Дано:
- В ящике 30 шаров: 12 белых и 18 черных.
Найти:
а) Вероятность того, что первые 4 шара — черные.
б) Математическое ожидание числа шаров одного цвета, которые будут извлечены до появления первого шара другого цвета.
Решение:
а) Вероятность того, что первые 4 шара черные:
1. Вероятность извлечения первого черного шара:
P(1) = 18/30.
2. Вероятность извлечения второго черного шара, после того как первый был извлечен:
P(2) = 17/29.
3. Вероятность извлечения третьего черного шара:
P(3) = 16/28.
4. Вероятность извлечения четвертого черного шара:
P(4) = 15/27.
5. Общая вероятность того, что первые 4 шара черные равна произведению этих вероятностей:
P(4 черных) = P(1) * P(2) * P(3) * P(4) = (18/30) * (17/29) * (16/28) * (15/27).
6. Упрощаем:
P(4 черных) = (18 * 17 * 16 * 15) / (30 * 29 * 28 * 27).
7. Подсчитаем числитель и знаменатель:
Числитель = 18 * 17 * 16 * 15 = 73440.
Знаменатель = 30 * 29 * 28 * 27 = 657720.
8. Следовательно, вероятность:
P(4 черных) ≈ 73440 / 657720 ≈ 0.1117.
б) Математическое ожидание числа шаров одного цвета:
1. Обозначим X — количество извлеченных шаров одного цвета до появления первого шара другого цвета.
2. Возможны два случая: либо первым будет черный шар, либо белый.
3. Вероятность того, что первый шар будет черным:
P(черный) = 18/30.
4. Вероятность того, что первый шар будет белым:
P(белый) = 12/30.
5. Если первым будет черный шар, то ожидаемое количество черных шаров:
E(X | черный) = E(число черных шаров) = 1 + E(X), где E(X) — среднее количество черных шаров в случае, если продолжаем вытаскивать.
6. Система уравнений:
E(X) = (18/30) * (1 + E(X)) + (12/30) * 0.
7. Решаем уравнение:
E(X) = (18/30) + (18/30) * E(X).
E(X) - (18/30) * E(X) = 18/30,
E(X)(1 - 18/30) = 18/30,
E(X) * (12/30) = 18/30,
E(X) = (18/30) * (30/12) = (18/12) = 1.5.
Ответ:
а) Вероятность того, что первые 4 шара черные, примерно 0.1117.
б) Математическое ожидание числа шаров одного цвета, которые будут извлечены до появления первого шара другого цвета, равно 1.5.