Дано: отрезок натурального ряда от 1 до 6, n = 6 (числа 1, 2, 3, 4, 5, 6). Из него случайным образом выбрали три различных числа.
Найти: математическое ожидание и стандартное отклонение суммы выбранных чисел.
Решение:
1. Общее количество способов выбрать 3 числа из 6: C(6, 3) = 20.
2. Найдем все возможные суммы выбранных тройк чисел:
- 1, 2, 3 -> 6
- 1, 2, 4 -> 7
- 1, 2, 5 -> 8
- 1, 2, 6 -> 9
- 1, 3, 4 -> 8
- 1, 3, 5 -> 9
- 1, 3, 6 -> 10
- 1, 4, 5 -> 10
- 1, 4, 6 -> 11
- 1, 5, 6 -> 12
- 2, 3, 4 -> 9
- 2, 3, 5 -> 10
- 2, 3, 6 -> 11
- 2, 4, 5 -> 11
- 2, 4, 6 -> 12
- 2, 5, 6 -> 13
- 3, 4, 5 -> 12
- 3, 4, 6 -> 13
- 3, 5, 6 -> 14
- 4, 5, 6 -> 15
3. Суммы: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.
4. Найдем математическое ожидание:
Сумма всех сумм = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 75.
Количество различных комбинаций = 20.
Математическое ожидание E(X) = 75 / 20 = 3.75.
5. Теперь найдем дисперсию:
E(X^2):
Для каждой суммы:
6^2 = 36, 7^2 = 49, 8^2 = 64, 9^2 = 81, 10^2 = 100, 11^2 = 121, 12^2 = 144, 13^2 = 169, 14^2 = 196, 15^2 = 225.
Сумма квадратов = 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + 169 + 196 + 225 = 1115.
E(X^2) = 1115 / 20 = 55.75.
6. Теперь дисперсия D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 55.75 - (3.75)^2 = 55.75 - 14.0625 = 41.6875.
7. Стандартное отклонение σ(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(41.6875) ≈ 6.44.
Ответ:
Математическое ожидание = 10.5, стандартное отклонение ≈ 6.44.