Дано:
- Игральная кость, вероятности выпадения каждой грани равны.
- Игрок А начинает первым.
- Игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не выбросит шестёрку.
Найти:
- Вероятность того, что победит игрок Б.
Решение:
1. Вероятность того, что игрок А выиграет при первом броске, равна P(A) = 1/6 (так как он может сразу выбросить шестёрку).
2. Если игрок А не выбросил шестёрку, то вероятность этого события равна P(A не выиграл) = 5/6. Теперь очередь игрока Б.
3. Игрок Б выигрывает, если он выбрасывает шестёрку, что происходит с вероятностью P(B) = 1/6. Если игрок Б тоже не выбрасывает шестёрку, вероятность этого события равна P(B не выиграл) = 5/6.
4. Игра повторяется, и ситуация возвращается к игроку А. Таким образом, вероятность того, что победит игрок Б, учитывая, что оба не выбросили шестёрку в первом круге, можно выразить через вероятность того, что Б выиграет в следующий раз.
5. Обозначим вероятность победы игрока Б как P(B). Тогда у нас есть:
P(B) = (5/6) * (1/6) + (5/6) * (5/6) * P(B).
6. Решим это уравнение:
P(B) = (5/36) + (25/36) * P(B).
7. Переносим P(B) в одну сторону:
P(B) - (25/36) * P(B) = 5/36.
8. Выносим P(B):
(1 - 25/36) * P(B) = 5/36.
9. Упрощаем:
(11/36) * P(B) = 5/36.
10. Делим обе стороны на 11/36:
P(B) = (5/36) / (11/36) = 5/11.
Ответ:
Вероятность того, что победит игрок Б, равна 5/11.