Дано:
- Количество рыцарей (включая Артура): 12 + 1 = 13.
- Количество дам: 21.
- Общее количество людей: 13 + 21 = 34.
Найти:
Вероятность того, что король Артур ведёт себя прилично, т.е. рядом с ним находится хотя бы одна дама.
Решение:
1. Общее количество способов рассадки 34 человек вокруг круглого стола:
Количество способов = (34 - 1)! = 33!.
2. Найдём количество способов рассадки, при котором Артур не ведёт себя прилично, то есть рядом с ним нет дам. Это означает, что рыцари сидят только рядом с ним.
Артур может сидеть с двумя соседями-рыцарями. Поскольку всего 12 рыцарей, мы можем выбрать двух из них:
Количество способов выбрать 2 рыцарей = C(12, 2) = 12! / (2! * (12 - 2)!) = 66.
Теперь у нас есть 10 оставшихся рыцарей и 21 дама. Общее количество людей, которые будут располагаться на стуле после Артура и двух соседей-рыцарей:
10 (остальные рыцари) + 21 (дамы) = 31.
3. Количество способов расположить оставшихся 31 человека вокруг стола:
Количество способов = (31 - 1)! = 30!.
4. Таким образом, количество способов рассадки, при котором Артур не ведёт себя прилично:
Количество способов = 66 * 30!.
5. Теперь найдём вероятность того, что Артур ведёт себя прилично:
Вероятность = 1 - (Количество способов, когда Артур не ведёт себя прилично) / (Общее количество способов рассадки)
Вероятность = 1 - (66 * 30!) / (33!).
6. Упростим дробь:
(33! / 30!) = 33 * 32 * 31.
Следовательно,
Вероятность = 1 - (66 / (33 * 32 * 31)).
Теперь посчитаем числитель и знаменатель:
66 = 2 * 3 * 11.
Теперь вычислим 33 * 32 * 31:
33 * 32 = 1056,
1056 * 31 = 32736.
Таким образом,
Вероятность = 1 - (66 / 32736).
Теперь находим значение:
66 / 32736 = 1 / 496.
Следовательно,
Вероятность = 1 - (1 / 496) = (495 / 496).
Ответ:
Вероятность того, что король Артур ведёт себя прилично, равна 495 / 496.