Дано:
- Количество пассажиров: 280.
- Количество порций с курицей: 140.
- Количество порций с рыбой: 140.
- Вероятность, что пассажир предпочитает курицу: 0,5.
- Вероятность, что пассажир предпочитает рыбу: 0,5.
Найти:
Наиболее вероятное число недовольных пассажиров.
Решение:
1. Обозначим X — число пассажиров, которые предпочитают курицу. X подчиняется биномиальному распределению с параметрами n = 280 и p = 0,5.
2. Математическое ожидание (среднее) для X равно:
E(X) = n * p = 280 * 0,5 = 140.
3. Таким образом, наиболее вероятное число пассажиров, которые хотят курицу, будет около 140.
4. Если 140 пассажиров хотят курицу, то 140 порций курицы хватит. Однако, если количество пассажиров, желающих курицу, увеличивается, то некоторые из них будут недовольны. Число недовольных будет равно количеству пассажиров, которые хотят курицу минус количество доступных порций.
5. Если Y — число недовольных, то:
Y = max(0, X - 140).
6. Определим наиболее вероятное количество недовольных. Поскольку X распределено по биномиальному закону, для X ~ Bin(280, 0,5) наиболее вероятные значения лежат вокруг E(X).
7. Вероятно, что X = 140, тогда Y = 0. Если X = 141, то Y = 1, если X = 142, то Y = 2 и так далее.
8. Вероятность, что количество недовольных равно k, будет значительно уменьшаться с увеличением k, так как отклонения от среднего значения становятся менее вероятными.
9. Мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения:
X ~ N(140, sqrt(280 * 0,5 * 0,5)) = N(140, sqrt(70)) = N(140, 8.37).
10. Наиболее вероятное количество недовольных пассажиров будет в интервале от 0 до 2, так как при E(X) = 140 большинство пассажиров довольны.
Ответ:
Наиболее вероятное число недовольных пассажиров равно 0.