Дано:
- квадратный лист бумаги со стороной 1 (единица длины).
- случайно выбранная точка O внутри квадрата.
Найти:
- математическое ожидание числа сторон получившегося многоугольника после сгиба листа так, чтобы каждая вершина наложилась на точку O.
Решение:
1. Вершины квадрата A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) при сгибе будут двигаться к точке O(x, y).
2. После сгиба стороны квадрата будут образовывать многоугольник, и количество сторон этого многоугольника зависит от положения точки O. Если O находится ближе к одной из сторон квадрата, то соответствующая сторона "закроется", и количество сторон многоугольника уменьшится.
3. Мы можем использовать метод, основанный на делении квадрата на 4 треугольника, образованных через точки O и каждую из сторон.
4. Рассмотрим вероятности получения определенного количества сторон:
- Если O находится в центре квадрата (x = 0.5, y = 0.5), многоугольник будет иметь 4 стороны.
- Если O находится близко к одной из сторон, возможно, многоугольник будет иметь 3 стороны.
- Если O близко к углам, многоугольник может иметь 2 стороны.
5. Найдем математическое ожидание:
- Вероятность того, что O находится в области, где многоугольник имеет 4 стороны, равна вероятности, что O находится далеко от всех сторон. Это область, не касающаяся 1/3 стороны квадрата. Площадь такой области равна (1/3) * (1/3) = 1/9.
- Вероятность получения 3 сторон, когда O близко к одной стороне, равна 4 * (площадь, соответствующая одной стороне) = 4 * (1/3) * (1/3) = 4/9.
- Вероятность получения 2 сторон, когда O близко к углам, равна 4 * (площадь, соответствующая одному углу) = 4 * (1/3) * (1/3) * (1/3) = 4/27.
Теперь подведем итог:
E(S) = P(4) * 4 + P(3) * 3 + P(2) * 2.
Заменяем вероятности:
E(S) = (1/9) * 4 + (4/9) * 3 + (4/27) * 2.
Переведем все вероятности к общему знаменателю (27):
E(S) = (3/27) * 4 + (12/27) * 3 + (8/27) * 2,
E(S) = (12 + 36 + 16) / 27,
E(S) = 64 / 27.
Теперь округлим до тысячных:
E(S) ≈ 2.370.
Ответ:
Математическое ожидание числа сторон получившегося многоугольника равно 2.370.