Дано:
- Текущий счёт: Знатоки 2, Телезрители 4
- Количество побед, необходимое для победы: 6
- Вероятность выигрыша Знатоков в каждом раунде: 0,5
- Вероятность выигрыша Телезрителей в каждом раунде: 0,5
Найти:
- Вероятность того, что победит команда Телезрителей.
Решение:
1. Команде Телезрителей нужно выиграть 2 раунда, чтобы победить, а Знатокам необходимо выиграть 4 раунда.
2. Для Телезрителей необходимо выиграть 2 раунда подряд, пока Знатоки могут выиграть максимум 4 раунда. Это означает, что Телезрители могут выиграть при следующих возможных сценариях:
- Телезрители выигрывают 2 раунда подряд.
- Телезрители выигрывают 2 из 3 следующих раундов, при этом Знатоки могут выиграть только 1 раз.
3. Пусть X - количество побед Знатоков, а Y - количество побед Телезрителей. Мы можем записать количество выигранных раундов для сценариев, когда Телезрители выигрывают:
- Y = 2, X может быть 0, 1 или 2.
4. Находим вероятности:
- Вероятность того, что Телезрители выигрывают 2 раунда подряд (YY):
P(YY) = (0,5) * (0,5) = 0,25
- Вероятность того, что Телезрители выигрывают 2 из 3 следующих раундов (YXY, YXX или XYX):
Здесь нам нужно учитывать, что Телезрители должны выиграть 2 из 3 раундов, а Знатоки - 1 раунд. Для этого используем формулу биномиального распределения:
P(X = 1, Y = 2) = C(3, 2) * (0,5)^2 * (0,5)^1
= 3 * (0,5)^3 = 3 * 0,125 = 0,375
5. Теперь суммируем все вероятности:
P(Телезрители выигрывают) = P(YY) + P(YXY) + P(YXX) + P(XYX)
= 0,25 + 0,375
= 0,625
Ответ:
Вероятность того, что победит команда Телезрителей, равна 0,625.