дано:
- радиус планеты R
- высота обрыва h
- время падения t
найти:
средняя плотность планеты ρ
решение:
1. Сначала найдем ускорение свободного падения g на поверхности планеты. Для этого используем уравнение движения для свободно падающего тела:
h = (1/2) * g * t^2.
Отсюда выразим g:
g = (2h) / t^2.
2. Теперь свяжем g с гравитационной постоянной G и средней плотностью планеты ρ. Ускорение свободного падения на поверхности планеты можно выразить через массу планеты M и радиус R:
g = G * M / R^2.
3. Массу планеты M можно выразить через её среднюю плотность ρ:
M = (4/3) * π * R^3 * ρ.
4. Подставим выражение для M в формулу для g:
g = G * [(4/3) * π * R^3 * ρ] / R^2.
Упрощаем:
g = G * (4/3) * π * ρ * R.
5. Теперь подставим ранее найденное значение g в это уравнение:
(2h) / t^2 = G * (4/3) * π * ρ * R.
6. Выразим среднюю плотность ρ:
ρ = (2h) / (t^2 * G * (4/3) * π * R).
7. Упростим окончательное выражение:
ρ = (6h) / (t^2 * G * π * R).
ответ:
Средняя плотность планеты равна ρ = (6h) / (t^2 * G * π * R).