Дано:
- радиус полусферы R = 30 см = 0,3 м,
- высота h = 15 см = 0,15 м.
Найти:
скорость шайбы v.
Решение:
1. Поскольку шайба находится на высоте h от нижней точки полусферы, определим радиус окружности, по которой движется шайба. Высота h связана с радиусом полусферы R и радиусом окружности r следующим образом:
r = sqrt(R^2 - h^2).
2. Подставим значения:
R^2 = (0,3)^2 = 0,09,
h^2 = (0,15)^2 = 0,0225.
Тогда:
r = sqrt(0,09 - 0,0225) = sqrt(0,0675) ≈ 0,26 м.
3. Теперь найдем центростремительное ускорение a, необходимое для поддержания движения шайбы по окружности:
a = v^2 / r.
4. Центростремительное ускорение также можно выразить через гравитационное ускорение g и угол θ, который образует радиус с вертикалью. Этот угол можно найти из треугольника:
cos(θ) = h / R = 0,15 / 0,3 = 0,5 ⇒ θ = 60°.
Таким образом, sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)) = √(1 - 0,25) = √(0,75) = √3 / 2.
5. В равновесии сил у нас есть:
m * g * sin(θ) = m * (v^2 / r).
Сократим массу m:
g * sin(θ) = v^2 / r.
6. Теперь подставим g = 9,81 м/с², r ≈ 0,26 м и sin(60°) = √3 / 2 ≈ 0,866:
9,81 * 0,866 = v^2 / 0,26.
7. Выразим скорость v:
v^2 = 9,81 * 0,866 * 0,26.
8. Рассчитаем:
v^2 ≈ 2,222,
v ≈ sqrt(2,222) ≈ 1,49 м/с.
Ответ: шайба должна двигаться со скоростью примерно 1,49 м/с, чтобы оставаться на высоте 15 см внутри полусферы.