В момент, когда ракета массой 3 т находится на высоте 1 км над поверхностью Земли и движется вертикально вверх со скоростью 200 м/с, от неё отделяется первая ступень массой 1 т. При этом скорость оставшейся части ракеты возрастает до 220 м/с. Через какой промежуток времени после отделения первая ступень упадёт на землю?
от

1 Ответ

дано:
масса ракеты до отделения (m_total) = 3 т = 3000 кг  
масса первой ступени (m_stage1) = 1 т = 1000 кг  
высота над землёй (h) = 1 км = 1000 м  
начальная скорость ракеты (v_initial) = 200 м/с  
скорость оставшейся части ракеты после отделения (v_final) = 220 м/с  

найти:
время (t), через которое первая ступень упадёт на землю.

решение:
Сначала определим скорость первой ступени после отделения. По закону сохранения импульса:

m_total * v_initial = (m_total - m_stage1) * v_final + m_stage1 * v_stage1

Подставим известные значения:

3000 кг * 200 м/с = (3000 кг - 1000 кг) * 220 м/с + 1000 кг * v_stage1

600000 = 2000 * 220 + 1000 * v_stage1

600000 = 440000 + 1000 * v_stage1

Решим уравнение для v_stage1:

1000 * v_stage1 = 600000 - 440000
1000 * v_stage1 = 160000
v_stage1 = 160 м/с

Теперь найдем время, за которое первая ступень упадёт на землю. Первая ступень будет двигаться вверх с начальной скоростью 160 м/с и затем упадёт вниз под действием силы тяжести. Обозначим ускорение свободного падения как g = 9.81 м/с².

Первое, найдем максимальную высоту, которую достигнет первая ступень:

v^2 = v_initial^2 - 2g * h_max

где h_max — максимальная высота. Подставим известные значения:

0 = (160 м/с)^2 - 2 * 9.81 м/с² * h_max

25600 = 19.62 * h_max

h_max = 25600 / 19.62 ≈ 1300 м

Теперь общая высота от земли будет:

H_total = h + h_max = 1000 м + 1300 м = 2300 м

Теперь рассчитаем время падения из этой высоты. Используем формулу для свободного падения:

H = 0.5 * g * t²

2300 = 0.5 * 9.81 * t²

t² = 2300 / (0.5 * 9.81)
t² ≈ 2300 / 4.905
t² ≈ 468.45

t ≈ √468.45 ≈ 21.65 с

Теперь добавим время, необходимое для поднятия до максимальной высоты:

t_up = v_initial / g = 160 м/с / 9.81 м/с² ≈ 16.3 с

Общее время после отделения:

t_total = t_up + t_down ≈ 16.3 с + 21.65 с ≈ 37.95 с

ответ:
первая ступень упадёт на землю примерно через 37.95 секунд после отделения.
от