дано:
масса ракеты до отделения (m_total) = 3 т = 3000 кг
масса первой ступени (m_stage1) = 1 т = 1000 кг
высота над землёй (h) = 1 км = 1000 м
начальная скорость ракеты (v_initial) = 200 м/с
скорость оставшейся части ракеты после отделения (v_final) = 220 м/с
найти:
время (t), через которое первая ступень упадёт на землю.
решение:
Сначала определим скорость первой ступени после отделения. По закону сохранения импульса:
m_total * v_initial = (m_total - m_stage1) * v_final + m_stage1 * v_stage1
Подставим известные значения:
3000 кг * 200 м/с = (3000 кг - 1000 кг) * 220 м/с + 1000 кг * v_stage1
600000 = 2000 * 220 + 1000 * v_stage1
600000 = 440000 + 1000 * v_stage1
Решим уравнение для v_stage1:
1000 * v_stage1 = 600000 - 440000
1000 * v_stage1 = 160000
v_stage1 = 160 м/с
Теперь найдем время, за которое первая ступень упадёт на землю. Первая ступень будет двигаться вверх с начальной скоростью 160 м/с и затем упадёт вниз под действием силы тяжести. Обозначим ускорение свободного падения как g = 9.81 м/с².
Первое, найдем максимальную высоту, которую достигнет первая ступень:
v^2 = v_initial^2 - 2g * h_max
где h_max — максимальная высота. Подставим известные значения:
0 = (160 м/с)^2 - 2 * 9.81 м/с² * h_max
25600 = 19.62 * h_max
h_max = 25600 / 19.62 ≈ 1300 м
Теперь общая высота от земли будет:
H_total = h + h_max = 1000 м + 1300 м = 2300 м
Теперь рассчитаем время падения из этой высоты. Используем формулу для свободного падения:
H = 0.5 * g * t²
2300 = 0.5 * 9.81 * t²
t² = 2300 / (0.5 * 9.81)
t² ≈ 2300 / 4.905
t² ≈ 468.45
t ≈ √468.45 ≈ 21.65 с
Теперь добавим время, необходимое для поднятия до максимальной высоты:
t_up = v_initial / g = 160 м/с / 9.81 м/с² ≈ 16.3 с
Общее время после отделения:
t_total = t_up + t_down ≈ 16.3 с + 21.65 с ≈ 37.95 с
ответ:
первая ступень упадёт на землю примерно через 37.95 секунд после отделения.