дано:
- высота h = 2,4 км = 2400 м
- скорость ракеты v_r = 200 м/с (направлена вверх)
- масса первой ступени m_1 = 1 т = 1000 кг
- масса второй ступени m_2 = 3 т = 3000 кг
- скорость второй ступени v_2 = 220 м/с (после отделения)
найти: время t, через которое первая ступень упадет на землю.
решение:
1. После отделения первой ступени, она начинает движение вниз с начальной скоростью равной скорости ракеты в момент отделения, но направленной вниз. Используем принцип сохранения импульса. Скорость первой ступени v_1 будет:
v_1 = v_r - (v_2 - v_r)
v_1 = 200 - (220 - 200)
v_1 = 200 - 20
v_1 = 180 м/с
Направление у v_1 будет вниз, поэтому можно записать его как -180 м/с (отрицательное значение означает направление вниз).
2. Теперь нам нужно найти время падения первой ступени. Для этого используем уравнение движения с постоянным ускорением (ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с²):
h = v_1 * t + (1/2) * (-g) * t²
Подставим известные значения:
2400 = (-180) * t + (1/2) * (-9,81) * t²
Упрощаем уравнение:
2400 = -180t - 4,905t²
Перепишем уравнение в стандартную форму:
4,905t² + 180t + 2400 = 0
3. Теперь воспользуемся формулой квадратного уравнения для нахождения времени t:
t = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Здесь a = 4,905, b = 180, c = 2400.
Сначала найдем дискриминант D:
D = b² - 4ac
D = (180)² - 4 * 4,905 * 2400
D = 32400 - 47040
D = -14640
Так как дискриминант отрицательный, значит решение данного уравнения не имеет действительных корней. Это указывает на то, что при таких условиях первая ступень не достигнет земли (это результат нелогичен в физическом смысле).
Поэтому нужно пересмотреть расчет начальной скорости первой ступени. Начальная скорость должна быть:
v_1 = v_r = 200 м/с
4. Если предположить, что скорость первой ступени 200 м/с, у нас также сохраняется вид уравнения:
2400 = (-200) * t + (1/2) * (-9.81) * t²
Переписываем уравнение:
4,905t² + 200t - 2400 = 0
Находим новый дискриминант:
D = (200)² - 4 * 4,905 * (-2400)
D = 40000 + 47040
D = 87040
Теперь находим корни:
t = (-200 ± √87040) / (2 * 4,905)
Вычисляем:
√87040 ≈ 295,5
t = (-200 ± 295,5) / 9,81
Рассмотрим положительный корень:
t = (295,5 - 200) / 9,81
t ≈ 9,7 с
ответ: 9,7 с