Дано:
- масса шайбы m1 = 20 г = 0.02 кг
- масса горки m2 = 100 г = 0.1 кг
- высота горки h = 12 см = 0.12 м
Найти:
1. начальную скорость шайбы v1, чтобы в конечном состоянии горка и шайба двигались как единое целое.
Решение:
1. Сначала найдем потенциальную энергию горки, когда она достигнет максимальной высоты. Потенциальная энергия U будет равна:
U = m2 * g * h,
где g = 9.81 м/с².
Подставим значения:
U = 0.1 * 9.81 * 0.12 = 0.11772 Дж.
2. При движении шайбы по столу, ее кинетическая энергия K будет равна:
K = 0.5 * m1 * v1^2.
3. В конечном состоянии, после того как шайба въедет на горку, система (шайба + горка) будет двигаться с общей скоростью V. При этом сохраняется закон сохранения импульса:
m1 * v1 = (m1 + m2) * V.
4. Теперь у нас есть два уравнения: одно для энергии и одно для импульса. Приравняем полную механическую энергию до начала движения к полной механической энергии после взаимодействия:
K_initial = U + K_final,
0.5 * m1 * v1^2 = U + 0.5 * (m1 + m2) * V^2.
5. Из первого уравнения выразим V:
V = (m1 * v1) / (m1 + m2).
6. Подставим это значение V во второе уравнение:
0.5 * m1 * v1^2 = 0.11772 + 0.5 * (m1 + m2) * ((m1 * v1) / (m1 + m2))^2.
7. Упростим это:
0.5 * m1 * v1^2 = 0.11772 + 0.5 * (m1 + m2) * (m1^2 * v1^2) / (m1 + m2)^2.
8. Умножим обе части на 2:
m1 * v1^2 = 0.23544 + (m1^2 * v1^2) / (m1 + m2).
9. Переносим все члены в одну сторону:
m1 * v1^2 - (m1^2 * v1^2) / (m1 + m2) = 0.23544.
10. Общий множитель v1^2 можно вынести за скобки:
v1^2 * (m1 - (m1^2/(m1 + m2))) = 0.23544.
11. Найдем общий знаменатель:
v1^2 * ((m1(m1 + m2) - m1^2) / (m1 + m2)) = 0.23544.
12. Упрощаем:
v1^2 * (m2 * m1 / (m1 + m2)) = 0.23544.
13. Выразим v1^2:
v1^2 = (0.23544 * (m1 + m2)) / (m2 * m1),
v1 = sqrt((0.23544 * (0.02 + 0.1)) / (0.1 * 0.02)).
14. Посчитаем численные значения:
v1 = sqrt((0.23544 * 0.12) / 0.002) = sqrt(14.1252) ≈ 3.76 м/с.
Ответ:
Начальная скорость шайбы должна быть примерно 3.76 м/с.