Дано:
- масса первой горки m1
- масса второй горки m2
- высота первой горки h1
- масса монетки m0
Найти:
1. Максимальная высота подъема монеты на второй горке h_max.
Решение:
1. Применим закон сохранения энергии для монетки на первой горке. На вершине горки монетка обладает потенциальной энергией, которая при движении вниз преобразуется в кинетическую энергию:
PE_initial = m0 * g * h1,
где g - ускорение свободного падения (примерно 9.81 м/с²).
2. При соскальзывании с первой горки монетка приобретает скорость v0 на основании преобразования потенциальной энергии в кинетическую:
KE_m0 = (1/2) * m0 * v0²,
где KE_m0 - кинетическая энергия монетки на нижней точке первой горки.
Уравнение будет выглядеть так:
m0 * g * h1 = (1/2) * m0 * v0².
3. Упростим уравнение:
g * h1 = (1/2) * v0²,
v0² = 2 * g * h1,
v0 = sqrt(2 * g * h1).
4. Теперь рассмотрим ситуацию, когда монетка пересекает поверхность стола и начинает подниматься по второй горке. Используем закон сохранения импульса, чтобы найти скорость монетки после столкновения с второй горкой:
m0 * v0 = (m0 + m2) * v,
где v - скорость системы после столкновения.
5. Выразим скорость v:
v = (m0 * v0) / (m0 + m2).
6. Теперь снова используем закон сохранения энергии для монетки на второй горке. При подъеме на высоту h_max вся кинетическая энергия монетки переходит в потенциальную:
KE = PE_max,
(1/2) * (m0 + m2) * v² = (m0 + m2) * g * h_max.
7. Упростим уравнение:
(1/2) * v² = g * h_max,
h_max = (1/2g) * v².
8. Подставим выражение для v из пункта 5:
h_max = (1/2g) * [(m0 * v0) / (m0 + m2)]².
9. Подставляем v0² из пункта 3:
h_max = (1/2g) * [(m0 * sqrt(2 * g * h1)) / (m0 + m2)]².
10. Упрощаем выражение:
h_max = (1/2g) * [m0² * (2gh1)] / (m0 + m2)²,
h_max = (m0² * h1) / [(m0 + m2)²].
Ответ:
Максимальная высота подъёма монетки на второй горке равна (m0² * h1) / (m0 + m2)².