дано:
- начальная температура T_initial = 27 °C = 300 K
- начальное давление P_initial = 100 кПа = 100000 Па
- температура в первой половине T1 = 127 °C = 400 K
- температура во второй половине T2 = 7 °C = 280 K
найти:
давление P_final, которое установится в сосуде.
решение:
1. Используем уравнение состояния идеального газа:
P * V = n * R * T,
где P — давление, V — объём, n — количество вещества, R — универсальная газовая постоянная, T — температура в Кельвинах.
2. Поскольку объемы обеих половин сосуда равны и поршень подвижный, давления в обеих половинах будут равны в конечном состоянии, то можно записать:
P1 * V = n1 * R * T1
и
P2 * V = n2 * R * T2,
где P1 и P2 — давления в первых и вторых половинах соответственно, n1 и n2 — количества вещества в этих половинах.
3. Из уравнения состояния для каждой половины получаем:
P1 = n1 * R * T1 / V
и
P2 = n2 * R * T2 / V.
4. Учитывая, что суммарное количество вещества n_total = n1 + n2 в сосуде остается постоянным и равно n_initial при начальных условиях:
n_initial = P_initial * V / (R * T_initial).
5. После нагрева и охлаждения объём и универсальная газовая постоянная не меняются, значит:
n1 = P_initial * V / (R * T_initial) - n2.
6. Подставим n2 в уравнение для P2:
P2 = ((P_initial * V / (R * T_initial) - n2) * R * T2) / V.
7. Упрощая, получаем:
P2 = (P_initial * T2 / T_initial) - P2 * (T2 / T1),
где T2 / T1 – отношение температур.
8. Теперь найдем давление P_final как среднее арифметическое давлений в обоих половинах сосуда. Значения P1 и P2 равны между собой в равновесии, поэтому:
P_final = (n1 * R * T1 + n2 * R * T2) / V.
9. Заменим n1 и n2 из предыдущих уравнений с учетом начального давления:
P_final = (P_initial * T1 + P_initial * T2) / T_initial.
10. Подставим значения:
P_final = (100000 Па * 400 K + P_final * 280 K) / 300 K.
Переносим все термины на одну сторону:
P_final * 300 = 100000 * 400 + P_final * 280.
11. Разделив на переменную P_final, имеем:
P_final * (300 - 280) = 100000 * 400.
То есть:
20 * P_final = 40000000.
Следовательно:
P_final = 2000000 / 20 = 200000 Па = 200 кПа.
ответ:
Давление, которое установится в сосуде, составляет 200 кПа.