Дано:
q1 = 4 * 10^(-8) Кл (положительный заряд)
q2 = -1 * 10^(-8) Кл (отрицательный заряд)
Расстояние между зарядами d = 20 см = 0.2 м.
Найти:
Значение третьего заряда q3 и его расположение на прямой, проходящей через q1 и q2, чтобы все заряды находились в равновесии, а также определить, будет ли это равновесие устойчивым.
Решение:
1. Рассмотрим условия равновесия. Для того чтобы заряды находились в равновесии, силы, действующие на третий заряд q3, должны уравновешивать друг друга.
2. Позицию третьего заряда q3 будем обозначать как x. Он может находиться слева от q1, между q1 и q2 или справа от q2.
**Случай 1: q3 находится между q1 и q2**
Пусть расстояние от q1 до q3 равно r1, а расстояние от q3 до q2 равно r2.
r1 + r2 = 0.2 м.
Силы, действующие на заряд q3:
Сила F1, действующая от q1 на q3:
F1 = k * |q1 * q3| / r1^2
Сила F2, действующая от q2 на q3:
F2 = k * |q2 * q3| / r2^2
Для равновесия: F1 = F2.
Таким образом, получаем:
k * |q1 * q3| / r1^2 = k * |q2 * q3| / r2^2.
Упрощая, получаем:
|q1| / r1^2 = |q2| / r2^2.
3. Подставим известные значения:
r2 = 0.2 - r1.
|q1| = 4 * 10^(-8) Кл, |q2| = 1 * 10^(-8) Кл.
4. Получаем уравнение:
4 * 10^(-8) / r1^2 = 1 * 10^(-8) / (0.2 - r1)^2.
Упрощаем:
4 / r1^2 = 1 / (0.2 - r1)^2.
5. Перепишем уравнение:
4 * (0.2 - r1)^2 = r1^2.
6. Раскроем скобки:
4 * (0.04 - 0.4r1 + r1^2) = r1^2.
7. Получим:
0.16 - 1.6r1 + 4r1^2 = r1^2.
8. Упрощаем:
3r1^2 - 1.6r1 + 0.16 = 0.
9. Решаем квадратное уравнение:
r1 = [1.6 ± sqrt((1.6)^2 - 4 * 3 * 0.16)] / (2 * 3).
10. Находим дискриминант:
D = (1.6)^2 - 4 * 3 * 0.16 = 2.56 - 1.92 = 0.64.
11. Решения:
r1 = (1.6 ± 0.8) / 6.
r11 = 0.4 / 6 = 0.0667 м (приблизительно).
r12 = 0.8 / 6 = 0.1333 м (приблизительно).
12. Расстояние r2 будет:
r2 = 0.2 - r1.
Для r1 = 0.0667 м, r2 = 0.1333 м. Для r1 = 0.1333 м, r2 = 0.0667 м.
13. Теперь определим заряд q3. Из равновесия сил, подставив одно из значений r1 или r2, можно найти заряд q3:
Случай 1, r1 = 0.0667 м, r2 = 0.1333 м:
4 * 10^(-8) / (0.0667)^2 = 1 * 10^(-8) / (0.1333)^2.
14. Подсчитаем:
q3 = |q2| * (r1^2 / r2^2) * (q1 / |q2|).
После подстановки и упрощения получаем q3.
15. Определяем устойчивость равновесия: устойчивое равновесие достигается, когда в случае небольшого смещения заряда силы возвращают его обратно к положению равновесия. В данном случае, если q3 будет положительным, силы отталкивания будут стремиться вернуть его к равновесию, что указывает на устойчивое равновесие.
Ответ:
Заряд q3 должен быть положительным, и его следует расположить на расстоянии приблизительно 0.0667 м от q1 или 0.1333 м от q2. Это равновесие будет устойчивым.