Дано:
q = заряд 1
4q = заряд 2
Расстояние между ними = a
Найти:
Заряд Q и его расположение, чтобы вся система находилась в равновесии, а также устойчивость равновесия.
Решение:
1. Обозначим расстояние от заряда q до заряда Q как x, а расстояние от заряда Q до заряда 4q как (a - x).
2. Силы, действующие на заряд Q, должны уравновешиваться:
Сила, действующая на Q от q:
F1 = k * |q * Q| / x^2
Сила, действующая на Q от 4q:
F2 = k * |4q * Q| / (a - x)^2
3. Для равновесия необходимо, чтобы F1 = F2:
k * |q * Q| / x^2 = k * |4q * Q| / (a - x)^2
4. Убираем k и |Q| (при условии, что Q не равно 0):
q / x^2 = 4q / (a - x)^2
5. Сокращаем q:
1 / x^2 = 4 / (a - x)^2
6. Переписываем уравнение:
(a - x)^2 = 4x^2
7. Раскрываем скобки:
a^2 - 2ax + x^2 = 4x^2
8. Переносим все в одну сторону:
a^2 - 2ax - 3x^2 = 0
9. Это квадратное уравнение относительно x. Используем формулу для нахождения корней:
x = [2a ± sqrt((2a)^2 - 4 * (-3) * a^2)] / (2 * -3)
10. Вычисляем дискриминант:
D = (2a)^2 + 12a^2 = 16a^2
11. Находим корни:
x1 = (6a) / -6 = -a (не подходит, так как x не может быть отрицательным)
x2 = (-2a) / -6 = a/3 (подходит)
12. Теперь определим заряд Q. Подставляем x = a/3 в уравнение равновесия:
1 / (a/3)^2 = 4 / (2a/3)^2
13. Считаем:
9 / a^2 = 4 / (4a^2/9)
14. Сокращаем и находим Q:
Q = -q (чтобы силы отталкивали и притягивали в равновесии).
Теперь определим устойчивость равновесия. Устойчивое равновесие будет достигнуто, если при небольшом смещении заряда Q силы будут возвращать его обратно к положению равновесия.
1. Если Q < 0, при смещении в сторону q сила от q будет увеличиваться, а от 4q уменьшаться, что приведет к возвращению Q обратно.
Ответ:
Заряд Q должен быть равен -q и находиться на расстоянии a/3 от заряда q, между зарядами q и 4q. Это равновесие будет устойчивым.