Дано:
Треугольник ABC с точками A, B, C и точка D, полученная при параллельном переносе точки A на вектор BC.
Найти:
Доказать, что точка пересечения отрезков AC и BD является серединой каждого из них.
Решение:
1. Обозначим точку пересечения отрезков AC и BD как точку E.
2. По определению параллельного переноса, если A переходит в D, то D = A + BC. То есть D = A + (C - B) = A + C - B.
3. Теперь запишем координаты точек:
- A (x1, y1)
- B (x2, y2)
- C (x3, y3)
- D (x1 + (x3 - x2), y1 + (y3 - y2))
4. Теперь найдем координаты середины отрезка AC:
M_AC = ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2)
5. Найдем координаты середины отрезка BD:
M_BD = ((x2 + (x1 + (x3 - x2)))/2, (y2 + (y1 + (y3 - y2)))/2)
= ((x2 + x1 + x3 - x2)/2, (y2 + y1 + y3 - y2)/2)
= ((x1 + x3)/2, (y1 + y3)/2)
6. Мы видим, что M_AC = M_BD, следовательно, середины отрезков AC и BD совпадают и равны точке E.
7. Это означает, что точка E является серединой отрезков AC и BD.
Ответ:
Точка пересечения отрезков AC и BD является серединой каждого из них.