Дано:
Треугольник ABC, в котором точка C при параллельном переносе на вектор AB переходит в точку E.
Найти:
Точку пересечения отрезков BC и AE и доказать, что эта точка является серединой отрезков BC и AE.
Решение:
1. Обозначим координаты точек:
- A(x1, y1)
- B(x2, y2)
- C(x3, y3)
2. После параллельного переноса точка C переходит в точку E. Координаты точки E можно выразить как:
E(x3 + (x2 - x1), y3 + (y2 - y1)).
3. Теперь найдем уравнения отрезков BC и AE.
Для отрезка BC:
Уравнение прямой можно записать в виде:
y - y2 = (y3 - y2) / (x3 - x2) * (x - x2),
что преобразуется в:
y = (y3 - y2)/(x3 - x2) * (x - x2) + y2.
Для отрезка AE:
Уравнение прямой можно записать в виде:
y - y1 = (yE - y1) / (xE - x1) * (x - x1),
где yE = y3 + (y2 - y1) и xE = x3 + (x2 - x1).
Подставляя в уравнение:
y = (y3 + (y2 - y1) - y1) / (x3 + (x2 - x1) - x1) * (x - x1) + y1,
что упрощается до:
y = (y3 - y1 + y2 - y1) / (x3 - x1 + x2 - x1) * (x - x1) + y1.
4. Теперь найдем точку пересечения отрезков BC и AE, приравняв их уравнения:
(y3 - y2) / (x3 - x2) * (x - x2) + y2 = (y3 - y1 + y2 - y1) / (x3 - x1 + x2 - x1) * (x - x1) + y1.
5. Теперь определим координаты точек пересечения. Обозначим точку пересечения как M(xm, ym).
Если M является серединой отрезка BC, то:
xm = (x2 + x3) / 2,
ym = (y2 + y3) / 2.
Если M является серединой отрезка AE, то:
xm = (x1 + xE) / 2,
ym = (y1 + yE) / 2.
6. Поскольку точки пересечения отрезков совпадают, получаем:
(x2 + x3) / 2 = (x1 + xE) / 2,
(y2 + y3) / 2 = (y1 + yE) / 2.
7. Поскольку E = (x3 + (x2 - x1), y3 + (y2 - y1)), подставляем это в равенства.
В результате, оба равенства верны, что означает, что точка M действительно является серединой отрезков BC и AE.
Ответ:
Доказано, что точка пересечения отрезков BC и AE является серединой каждого из них.