дано:
Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу правильного шестиугольника, равна 4п.
найти:
Площадь правильного шестиугольника.
решение:
1. Правильный шестиугольник можно разбить на 6 равных равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна 1/2 * основание * высота. Основание каждого треугольника — это сторона шестиугольника, а высота — это радиус описанной окружности.
2. Площадь кругового сектора определяется как:
S_сектор = 1/2 * R^2 * α,
где R — радиус окружности, а α — центральный угол в радианах. Для шестиугольника α = 2π/6 = π/3.
3. Подставим значения:
4π = 1/2 * R^2 * (π/3).
4. Упростим уравнение:
4π = (R^2 * π) / 6.
Умножим обе стороны на 6:
24π = R^2 * π.
Поделим обе стороны на π:
24 = R^2.
Следовательно, R = √24 = 2√6.
5. Теперь найдем площадь правильного шестиугольника:
S_шестиугольник = (3√3/2) * a^2,
где a — длина стороны шестиугольника. Сторона шестиугольника связана с радиусом R через формулу:
a = R.
6. Подставим найденное значение R в формулу для площади:
S_шестиугольник = (3√3/2) * (2√6)^2.
Посчитаем:
(2√6)^2 = 4 * 6 = 24.
Теперь подставим это значение:
S_шестиугольник = (3√3/2) * 24 = 36√3.
ответ:
Площадь правильного шестиугольника равна 36√3.